Généralement, supposons que l'on ait

Il en résulte

\) Jr—r^ dx^dx' dx''^ dx^'"'' IF'^ dx^^'

■" l.2...(/i+i)Vrfj^+' da^^' "^ ;' i

CL étant une quantité qui devient nulle en même temps que A. Je dis que, dans les environs du point M, la courbe MN'qui remplit les conditions (a) approche plus de MN que toute autre courbe MN" qui ne les remplirait pas toutes.

En effet, soit j" = if [x) Téquation de MN", et supposons que les tn premières dérivées de j^'' soient égales

aux m premières dérivées de y^ m étant moindre que n. On aura

S étant une quantité qui devient nulle en même temps que h. II résulte de là que

Or, comme h décroit jusqu'à o, a et 6 tendent de plus en plus vers cette limite ^ il s'ensuit que, lorsque h est

assez petit, le rapport t^, est sensiblement proportionnel à A"""*, et, par conséquent, peut devenir plu^ petit que toute quantité donnée , puisque n^m.

Si l'on convient de dire que les deux courbes MN' et MN ont un contact de tordre n , et par suite que les deux courbes MN et MN"ont un contact de Tordre m, les résultats auxquels nous venons de parvenir peuvent s^ énoncer en disant que, par un point commun à deux courbes qui ont entre elles un contact de F ordre n, on ne peut faire passer aucune courbe ayant, ai^ec tune des deux proposées, un contact d'un ordre inférieur