DÉFINITIONS ET NOTATIONS

/ 372. f (x) étant une fonction de x^ dont la différen-

tielle est jr(^) fite, on^

(f [x) + C est nommée Yintégrale indéfinie de la fonction différentielle. Ordinairement on fixe la valeur de la constante indéterminée C d'après la condition que l'intégrale devienne nulle pour une valeur particulière a, attribuée à .r. Dans cette hypothèse,

• C = ~y(«) et J/(.r)^r = 7(.r)-^(a).

Il reste encore dans cette expression une indéterminée jc 5 mais si Ton donne à x une valeur particulière b, T intégrale, qui devient ç (i) — ç («), est complètement déter-

I . «^ I minée. On la représente par la notation I f(x)dx^ et

on la désigne sous le nom d^ intégrale définie y prise entre les limites a et i, ou depuis x=^a jusqu'à x ■=^b. On a donc

Fig.

Ainsi la valeur de l'intégrale définie s'obtiendra en faisant dans rintégrale indéfinie x = a, puis x = &, et retranchant le premier résultat du second.

SIGNIFIGATION GÉOMÉTRIQUE DE l'iHTÉGRALE DÉFINIE.

373. SoitCMDla courbe dont Féquation en coordonnées rectangulaires est y =sf(x). On a vu quef(x) dx était la différentielle de Faire d'un segment terminé à une ordonnée variable: \ f[x) dx est donc , d^une manière g é-

nérale , Faire comp rise entre la courbe, Faxe des abscisses et deux ordonnées quelconques.

Mais si la constante arbitraire est déterminée d'après la condi«^ tion que Fintégrale ou Faire soit nulle pour x = OA = a, OP =a:

étant Fabscisse d'un point quelconque de la courbe, la valeur de Fintégrale pour celte valeur de x sera la surface ACMP. Par conséquent, si Fon y fait a:= 0B=3 i , la valeur de Fintégrale représentée, comme nous l'avons dit plus haut, par

/ f(x)dx,

sera la surface CABD , comprise entre la courbe , Faxe Ox et les deux ordonnées déterminées AC et BD.

EXEMPLES d'intégrales DÉFINIES.

Jf x''dx = — î— 5 si » -h I est positif.

34^ ^ouKs d'analyse.

' +c, "Gj^Li

=: --=. arc tang •

VÎ4 lo-t-^

dx I

= — arc tang i

- — — — «■ V MlUK i — r

Jo 2.4.6. ..2/1 2

Cette dernière intégrale se déduit de la formule (G) du n^ 371 y dont tous les termes , à l'exception du dernier, s'annulent aux deux limites.

INTÉGRALES OiFINIBS CONSIPÉILÉES COMME LIMITES DE SOMMES.

375. Dans ce qui précède , on suppose f[x) finie et continue depuis x = a jusqu'à x = b. Nous allons dé-

montrer que , dans ce cas , P intégrale définie j f(x) dx

est la limite de la somme des valeurs infiniment petites de la dijfferentiellef{x) dx, lorsque xrmrie, par degrés insensibles , depuis a jiisquà b.

Fig, 73.

Supposons ) pour fixer les idées , a <; A, et admettons que y' (x) aille constamment en croissant depuis f(a) jusqu'à y (A). Considérons la courbe CMD dont Téquation, en coordonnées rectangulaires, est

Soient OA = a, OB = A , OP = x, MP = y, PF= Ax.

On a vu ^ da ns le calcul différentiel, que Taire CADB fi jou était ^ale à la limite de la somme d'une infinité de rec- r *

tangles tels que MPFM'. Or on a MM'PP=f{x) A x : donc, si Ton désigne par 2/(x) àx la somme de tous ces rectangles , on aura

aire CABD = / /{x) dx = lim ^ /W ^x=^/{x)dar,

ce qu il s'agissait de démontrer.

On peut encore démontrer ce théorème d'une manière purement analytique. En effet, soit (f (x) Tune quelconque des intégrales dej'(x) dx^ en sorte que /(x) = y' (x) :

on aura

ou

Atf{x) = \/{X)-+'0L]ÙLX,

Cf. étant une fonction de x qui s'annule en même temps que Ax. Or, si l'on fait varier x par degrés quelconque» égaux ou inégaux, mais de plus en plus rapprochés , depuis a:=a jusqu'à a: = A, on obtiendra, pour chaque valeur attribuée à x, une équation analogue à l'équation (i) : en ajoutant toutes ces équations, on aura dans le premier membre la somme des valeurs de A^ (x), c'est-à-dire l'accroissement total de 9 [x) ou ç (A) — ç (a); il viendra donc

f (6)— (j)(a)=2/(x)Ax+2aAj;.

344 COURS d'analyse. \l^ô '

Mais, d'après un théoFëme démontré {n? 469) , on a

lim \aAx = o.

Donc Féquation (2) devient, en passant à la limite,

Xh

Ainsi Fintégrale définie est la limite vers laquelle tend

la somme des produits tels quey*(aT) Ax quand x varie

par degrés de plus en plus rapprochés , depuis a jusqu'à 6;

I — ^=^^ I o^ > sous une fo rme plus abrégée ^ Fintégrale est la somme

V,r.«3E ' des valeurs infiniment petites de la différentielle.

C'est à cause de cette propriété que l'on désigne les intégrales par le signe 1 > lettre initiale du mot somme,