Sî c est une valeur de x comprise entre a et i, on aura

Ja Ja

£/(x)dx = <f(b)-.f(c)i

donc

f /(x) dx = f/{x) dx+ f f{x)dx.

Ja Ja Je

On peut encore démontrer, cette formule en s'appuyànt sur le théorème du n^ 375 , ou bien eu remontant à l'interprétation géométrique des intégrales définies.

On démontrerait de même que

Xh r%c f*e f*S nh

f{x)cb::= \ f[x)dx^ \ f{x)dx^ \ f{x)rh^4 f{x)dx Ja Je Je Jg

et ainsi de suite.

378. Quand on ne sait pas int^rer une différentielle donnée /*( oc) ^, on peut souvent parvenir à deux limites

qui comprennent l'intégrale définie | f[x)dx. Pour

cela , soit ^ [x) une fonction de x telle, que l'on ait ^ [x) <^f(x) pour toutes les valeurs de x ., depuis «jusqu'à b. Je dis qu'on a l'inégalité

Ja Ja

346 COURS d'aitalyse.

La considération des courbes le démontre d'abord ^'ê' 74- très^simplement. En effet, soient

CMD et C M ly les courbes dont les équations sontrespectivement jr =:f(x)^y=^ (a:); commede

on a /W>^W»

la courbe C M V sera au-dessous de la courbe CMD entre les ordonnées CA et BD. Par conséquent on aura

aire CABD > aire C A' B'iy,

iu--n

MV

OU

Ja Ja

Autrement : puisque / (x) — ^ (x) est > o, pour toutes les valeurs de x, depuis x = a jusqu'à or = i, Tintégrale

I [/(^) — + (^)] '^^'> ^^^' ^* dérivée esl positive, croil

en même temps que x , et comme celte intégrale est nulle pour X = a, elle est toujours positive : on a donc

Ç[f(x)^-^[x)\dx^o, ou J /(x)^> MWr/x.

De même , si pj ( jc ) est une fonction de x telle ^ que l'on ait X (^) >/(^) , de x = a à a: = è, on aura

(2) f /{^)dx<C f Xi^)^'

Ja Ja

Par conséquent, si l'on sait intégrer ^ (x) fi?Jt: et ^ («^c) ^J^7 deux limites qui comprendront i /(x) <ir^

on aura