NOUVELLE DÉMONSTRATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR

380, Les propriétés des intégrales définies conduisent à une nouvelle démonstration de la série de Taylor. On a identiquement

/(x-hA)-/(x)= rV(x-4-A~0^^;

mais Fintégration par parties donne successivement

Jo Jo

Jo **^ •/o '-^

et ainsi de suite. En ajoutant toutes ces égalités, après

348 GOVRS d' ANALYSE.

y avoir fait f = A , on aura

R désignant le reste

Si maintenant M est la plus grande valeur, et /7i la plus petite valeur que prend^'"+^ (x 4- h — t)àet = okt = hy on aura

R< î / M/«rf/< îî^ r,

R> / mrdt^ ' — — X. ^