Comme application cherchons la mesure de la

^^- '°^- zone engendrée par la révolution

yl de Parc de cercle CD autour du

-^ ^ diamètre OL. Soit

l'équation du cercle. A étant la surface de la zone, si OA = a, et OB = & , on aura

= / '^J \/ ï-^-~'^'^= 1 2 7rRf/.r,

4o6 COURS d'analyse.

donc enfin

A= 27rR(ft — a)=:27rRX AB,

résultat connu.

Si l'on veut avoir la surface de la sphère entière, il faudra intégrer depuis x= — R juscpi'à x = R , ce qui donnera Texpression connue 4^^ R*-

SURFACE DE l'ellipsoïde DE RÉVOLUTION .

439. Comme second exemple, soit l'ellipse OAB. Fig. io3. Supposons qu'elle tourne autour

d'un de ses axes OA, et cherchons à évaluer la surface engendrée par la révolution de l'arc BM, qui commence à l'extrémité B de l'autre axe. On aura

--rv-(iy

dx.

Or l'équation de l'ellipse, a*j* + &* a:* = a* &% donne

djr b^'V

dx fl'jr

d'où

Remplaçant dans cette expression a^y^ par a* è* — i' x^^ il vient

dy\ h^a''-'[a}'—h'')x'

Supposons d'abord que l'on ait a^b^ c'est-à-dire que l'ellipse ait tourné autour de son grand axe. Posons

^ à^ — b^ z=iae. Il vient alors

V'<th

bsjà'-'i

ay

par conséquent ,

Jo

Or(n°398)

donc

= l -^ 1/ T — -^ -+- — arc sm — | •

440. Si l'on fait dans cette expression 0:= a , et si l'on prend le double du résultat, il vient

,, iTtba

27r 0^ H arc sm e

pour la surface totale de Pellipsoïde.

Si e = o , l'ellipsoïde devient une sphère , et en remari. arcsin<?

quant que lim = i pour e = o , on retrouve 4 tt a'

pour la surface de la sphère.