AIRE DES SURFACES DE RÉVOLUTION

437. L'aire d'une surface de révolution peut s'obtenir par une seule intégration.

Soit CMD une courbe plane qui , par sa révolution autour de l'axe O j:, situé dans son plan, engendre la surface dont onveutavoirl'aire. SoitCMM'D un contour polygonal inscritdans cette courbe. On peut considérer Faire de la surface comme la limite vers laquelle tend la somme des surfaces{des troncs de cônes engendrés par le contour polygonal, lorsque ses côtés décroissent indéfiniment, en même temps que leur nombre augmente jusqu'à l'infini. Soient donc

M{x,y) et M'(jr-+- Ao:, ^-h A/),

deux sommets consécutifs du contour polygonal. La surface décrite par la révolution de MM' a pour mesure

- MM' (circMP -f- cire M' F )

OU

7r{2^-h ^jr) Ajc

Mais comme

iim(.r+^/)v/'+(gy=»V'-^(£y'

il s'ensuit que l'expression de la surface du tronc de cène sera

a désignant une quantité qui s'annule avec Ax^ et, par suite, la surface décrite par le contour polygonal aura

pour mesure

En désignant par A la surface cherchée , on aura donc A =. lim^* 2 ny i / i + -^^ Aar -+- 2 tt/ lim \^ a Ax. Mais lim 2 «^ ^ = o (11'' 169) , et

donc

A=jr ..^rf.y/,+ (gy,

a et & étant les abscisses des extrémités de l'arc CD.

En désignant par 5 un arc compté à partir d'un point iSxe, on a

Donc A= 2n l yds,