CALCUL DIFFÉRENTIEL

Définitions préliminaires. — Méthode des limites. — Origine et but du calcul diiïérentiel. — Fonction dérivée. — Différentielle.

DÉFIHITIOÏVS PHÉLlMINAlUBS.

1. Avant d'exposer, le but et les principes du calcul différentiel, il est nécessaii*e d'établir quelques notions préliminaires.

On appelle variable une quantité qui prend successivement différentes valeurs , et constante celle qui conserve une valeur fixe dans le cours d'un même calcul. La nature de la question dont on s'occupe indique quelles sont les quantités variables et les constantes.

2. Quand les valeurs successives d'une quantité variable dépendent suivant une certaine loi de celles que prend une autre variable , la première est dite une fonction de la seconde. On peut affirmer que deux quantités qui varient ensemble sont fonctions l'une de l'autre , lorsqu'on sait qu'à chaque valeur de l'une d'elles correspond une valeur déterminée de l'autre, quand même la relation qui existe entre elles ne serait pas connue ni même susceptible d'être exprimée analytiquement.

3. On nomme variable indépendante celle à laquelle on donne des valeurs arbitraires , ei fonction la variable qui prend des valeurs correspondantes. Ainsi Faire d'un

cercle, "d'une sphère, est fonction de son rayon; le temps de Foscillation d'un pendule est fonction de sa longueur.

Une quantité peut être fonction de plusieurs variables indépendantes \ par exemple, levolumed'un cylindre droit à base circulaire est fonction de sa hauteur et du rayon de sa base.

Les quantités variables sont ordinairement représentées par les dernières lettres de l'alphabet x^ y^ z , etc. ; les constantes le sont par les premières a, i, c, etc.

Quand on veut indiquer différentes fonctions d'une variable X sans en spécifier la nature, on emploie les symbolesy (x), (f (x), F (x), etc. Si l'on donne à jeune valeur particulière a , le résultat de la substitution de a à la place de x dsLnsf[x) est indiqué par/* (a).

On représente les fonctions de plusieurs variables par les notations

On indique par/ (a, i, c), 9 (a, i, c), F («, 5, c) les résultats que l'on obtient lorsqu'on met a , £ , c à la place de X, j, z dans ces fonctions.

4. La relation qui existe entre une fonction d'une seule variable et cette variable peut être représentée géométriquement.

Il suffit pour cela de considérer x comme une abscisse variable et j comme l'ordonnée correspondanle de la courbe plane définie par l'équation

Ordinairement cette courbe est continue , c'est-à-dire que , pour des valeurs de x qui varient par degrés insensibles , l'ordonnée varie aussi par degrés insensibles 5 y est alors nue fonction continue de x.

On peut de même représenter par une surface une fonction de deux variables indépendantes 5 mais une fonction de trois, de quatre, ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes , n'est pas susceptible d'une représentation géométrique.

PtlBMIÈnE LEÇON. 3

5. tJne fonction est dite explicite quand elle est exprimée immédiatement au moyen de la variable ou des variables dont elle dépend, de sorte qu'on peut obtenir sa valeur en efTectuant sur ces variables certaines opérations indiquées avec précision. Ainsi

sont des fonctions explicites de x.

On nomme fonctions implicites celles qui sont liées aux variables dont elles dépendent par des équations non résolues ou par des conditions quelconques qui ne sont pas exprimées \ telle est y dans Téquation

J* — 2 Xf -h 2 X* — fl' =: o.

La fonction deviendra explicite si Ton tire sa valeur de l'équation , et Ton aura