i Lrt4-i (/ï4-i)(« -H2) J

ou, en supposant n-\~ i > x,

ou , eniin ,

2^. Les différents termes de la série

JP* X

i -^ X ces X H cos 2 jc -4- ... 4-

sont plus petits que ceux de la série précédente. Donc la nouvelle série est convergente a plus forte raison.

X x"^ Oi^ x^

On a, dans cet exemple,

«n-HI

Comme ce rapport tend vers x à mesure que n augmente, il en résulte que la série est convergente pour les valeurs de x comprises entre — i et -f- i .

On arrive à la même conclusion en appliquant le second théorème.

On peut facilement trouver une limite supérieure du

4o COURS d'analyse.

reste R„. En effet , on a

OU , puisque x est moindre que i ,

/î -hl I X

4^. Considérons cette autre série rri(m — i) ,

On a, dans cet exemple.

^p^i m — p-^i I m -Jf I __

Par là on voit que si x <^ i et ^ o , quand p est suffisamment grand, les termes finissent toujours par devenir alternativement positifs et négatifs, et par décroître indéfiniment. Donc alors la série est convergente. Elle Test encore si a:<^o et que sa valeur absolue soit plus

petite que i ^ car dans ce casle rapport -^^ finit toujours par

être, en valeur absolue, constamment plus petit qu'une fraction quelconque k plus grande que x. Si x positif ou négatif est plus giand que i, la série est divergente, car

f 1\ X finit toujours par surpasser i .

5°. Soit la série