dx I Kdx I d* I Kzdx

J a J a va J a

Stdrm. — An.% II. IO

i46 cours d'analyse.

et, en remplaçant encore * par la valeur (5),

dx I Rtdx -h / dx I Kdx j d.r f Rtdx

a J a Ja J a Ja ''a

J(*x /*x r%x f\x nx s*x

dx I Rdx I dx I Kdx j dx I Rzdx. a Ja J a J a J a J a

615. En continuant ainsi, on obtient pour la valeur de s, une suite indéfinie

(8) z = t+f'dxf

Rtdx

dont chaque terme, à l'exception du dernier, se déduit du

précédent en le multipliant par R^x", et en intégrant,

par rapport à x, deux fois entre les limites a et x. Le

dernier terme se forme d'après une loi analogue, mais il

contient toujours la fonction inconnue z. Cependant, le

développement (8) pourra servir au calcul de la valeur

approchée de *, si, à mesure que le nombre des termes

augmente, le dernier tend vers o. C'est, en effet, ce qui

arrive quand la fonction R ne devient pas infinie dans

l'intervalle où l'on fait varier x.

Pour le démontrer, supposons que x croisse d'une ma*

nière continue depuis la valeur a jusqu'à une valeur

quelconque b. Soient M, ju, C les plus grandes valeurs de

R, z, ty dans l'intervalle considéré. On aura, en valeurs

absolues,

le signe < n'excluant pas l'égalité. Si Ton trouve pour (i une valeur finie, il sera démontré que z ne peut pas devenir infinie entre les limites a et b.

Or, en premier lieu, on a, dans cet intervalle,

Rf<CM, donc

CMdlr,

f Rtdx< f

«^UÀRAA'TE-HUITIÈME LEÇOW. l4?

OU

/ Rf<*r<CM (* — *).

De là on tire, en intégrant successivement :

I dx I R

/<*r<CM l

f dx i Hdx f dx Ç Rtdx<CM* ^ ^,

j dx ! Rdx f dx f Kdx f dx Ç Rtdx < CM3 (*~"?'>

et ainsi de suite.

D'un autre côté, on a

Rz<pM, d'où

/ Uïcfj<pM(x — a),

I <** / R«ir / </x / R2^<|xM'- ^-,

et ainsi de suite. Donc, en arrêtant le développement de z

à n -H i termes, le dernier sera moindre que fxMrt

D'après ces inégalités, on déduit de l'équation (8)

,<CH-CM^=^l!+CM'l^^;+...

(x — fl)2(«-0 m# (x— 11)»

H- CM"- J -. r + |»B1- ^ — ,