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i48 cours d'analyse.

car on a

~ . Mn(x — a)" [(* — «) v/M]*1 .

On sait que ou — — — — peut devenir

moindre que toute quantité donnée e, quand n est suffisamment grand. Donc, si Ton désigne par K la plus grande

valeur de - C [eC*-^)^ -4- £-(*-■> v*"] , quand x varie de aà&, valeur qui est indépendante de /*, on aura

Cette inégalité ayant lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, on peut remplacer z par sa plus grande valeur p, et Ton aura

d'où

Ainsi, p ne peut pas devenir infini, et, par conséquent,

(# ayn

le reste de la série (8), qui est moindre que fjtMn ?

tend vers o, ce qu'il fallait démontrer.

616. On arrive encore à la formule (8) (615) par la méthode suivante :

Posons

u0, Mj, u„. . ., étant des fonctions de x que nous allons

cPz

dx"

cP z

déterminer. On doit avoir — = Rz (613), ou

£?'l/0 cPiti <Pu7

Or, on satisfera à cette équation en posant

(1) =0, -— =Ra0, — — -z=JLul9.* • .

En supposant que l'on ail i/0 = A, -j-^ = B pour x = a,

et que uu u,, . . . , — , —, . . . , s annulent pour x = a, on tire des équations (i) :

Js*x /*x

dx l Rtdx, a J a

Jr»x r%x /ix /»x

| dx j i\dx j dx j Rtdx,

On démontrera que la série

Z — u0 -+- ut -h ut -h . . . ,

est convergente, comme on l'a fait n° 615,

/jlNt

On traitera de la même manière l'équation — - = R^,

et Ton aura une série dont chaque terme s'obtiendra en multipliant le précédent par R*/xm, et intégrant m fois.

617. Comme application de cette méthode, considérons l'équation du second ordre

à laquelle se réduit l'équation dite de Riccati

(2) -^ +jr*z=ajf,

en posant

1 ilz

X ~~~zdx~°

Pour plus de simplicité, supposons a = 1 , et prenons toutes les intégrales indiquées au numéro précédent, entre

i5o cours d'analyse.

les limites oetx: nous aurons

Multipliant par xmdx% et intégrant deux fois entre les limites o et x, il viendra

(/«-j-i)(w + a) (m + 2) (m + 3) Nous aurons de même successi vemen t

(/// -+- 1 ) [m -h 1) (irn -f- 3) (2/w -h 4)

B.r*"+» (#n -h 2) (/If-f- 3) (2/« h- 4) (a//* 4- 5)'

(/»+i)(/n + a)(aw + 3) (2/n-+-4) (3«H-5) (3m -h 6)

et ainsi de suite.

Par conséquent, la valeur de z sera

(m + l)(W + 2) (ni-+-l)(/lH-2J(2/W-h3)(2l7f-h4)

(//i-h 1) ( w-h2j (ajin-3) (2/n-4-4) (3/w-+-5j (3m-f-6)

jJ»H-3 r2*H-S

(/w-h2)(/M-+-3)(2//i-H4)(2//iH-5;(3mH-6)(3/w-4-7) Quand m = o, cette formule se réduit à

i?» l 0—X gX gr-X

qui est bien l'intégrale de l'équation

QUABANTE-HUITIEME LEÇON. IDI