a^À*" -f- 2A'Bx6 4-. -.4- 2/1* LxA 4- î/^Mx/* 4-...=o

Pour que cette dernière équation soit identique, il faut d'abord qu'on ait

c'est-à-dire

a = o, ou a = i — m.

Si l'on prend d'abord « = o, et que l'on procède comme il a été indiqué au n° 611, on trouvera la série

yt z=z A I I 1 . ■■ » ... I •

, L i.(/w4-i; . i.2.(m + ij(m + i) J

Si Ton fait « = i — m, on aura par le même procédé

y-j. et jKi sont deux intégrales particulières contenant chacune une constante arbitraire. Leur somme jri -+-)'* sera donc l'intégrale générale.

619. On peut remplacer les séries yx etyf par des intégrales définies. En effet, entre les coefficients L et M de deux ternies consécutifs de la série j^, on a la relation

/iaL = Mp (i — m — 2/?).

Or, on déduit de la formule (B) (I, 372) une relation analogue entre deux intégrales définies, savoir :

cos,''asmm-,a£*a^ ■ I cos'P"i<xsmm'-ioida.

Le rapport de ces deux intégrales est, à un facteur con

stant prés, égal au rapport — •, si donc on pose

co$1PaL&\nm-lcLdz,

cosv-» a sin*""1 a d a, o on aura

M À- ip — i h1

L A^^, ip -+- m — i p (i — m — ip) '

donc

D'après cette formule, et comme A0 n'est autre chose que A, on aura

par conséquent,

M» = A- — I cos^asin^-'a^a

* i.*...ipJQ

et

v1 (— ih^vx^p r*

r,= > A - / cosï*,asin",-|a</a,

Jr* . , , / aA'x'cos'a 4A4.r«cos4a \

sin^-'aaa i h -. — -, ... ) 0 \ 1.2 1.2. 5. 4 )

Mais l'expression entre parenthèses égale cos [hx y/âcosa) i on a donc enfin

f\ =■ A / cos(Àxv/2Cosa)sin",~larfa.

Jo

La seconde série se déduit de la première en changeant m en 2 — m\ donc

Xv

cos(/*:r y'a cosa) sin!~m cu/a.

620. La valeur deyt devient illusoire quand onaro=o ou/n<o, En effet, si m = o, l'intégrale

' cos (hx v^â cosa) sin"1""' ada o

est plus grande que

A: désignant une quantité finie et e un nombre suffisamment petit, mais lui-même fini. Or, / — = 00. Donc

la première intégrale est infinie quand m --= o, et à plus forte raison quand on a m < o.

De même la seconde intégrale n'aura une valeur finie que si 2 — m est positif.

Donc yx -\-y% ne représentera, l'intégrale générale que si #n est compris entre o et 2. En dehors de ces deux limites, l'une des deux formules tombera en défaut, mais l'autre subsistera et servira à trouver l'intégrale générale par le procédé du n° 608.

i54 cours d'analyse.

621 . Examinons maintenant quelques cas particuliers. i° m = o. L'équation se réduit à

cllY dx1

Pour déduire son intégrale des formules précédentes, observons que la valeur de jt, qui est encore admissible, se réduit à

jr2=z\'x I cos(/j.r y2 cosa) sinaafa Jo

= ! cos(/i.r y2COsaJ</(&r y/2 cosa)

= Csin(/j.r y^).

Au moyen de celte première intégrale on trouvera

y — csin {/txfa) -f- c'cos(/j.r ^2).

a° m = a. La valeur de^t est illusoire, mais celle de

Y\ subsiste et donne Csin (/?# ^2) pour intégrale particulière. Ou en déduit l'intégrale générale

c sin (hx ^2 ) -h c' cos ( hx \pi)

3° m = 1 . Le rapport de yx à yt est constant, et ces deux intégrales ne sont plus distinctes. Dans ce cas, on posera m = 1 -h A, et Ton appliquera le procédé de d'Alembert (585).

EXERCICES

. <Py dy

Solution :

intégrale particulière.

QUARANTE-HUITIEME LEÇOS. IJO

(ry i tir • dx ,

Solution :

aÛ1 ~~ iV4a. 6

•? —Ali jj-^TTrï «* /i m~*~

intégrale particulière.

i56 cours d'analyse.