Soient

/ dy dmy dz dPz\ •

dy d'y dz dit\

deux équations qui renferment deux fonctions j- etz d'une variable indépendante .r, et leurs dérivées de divers ordres. En éliminant y entre ces équations, on obtiendra une équation différentielle à une seule fonction z, et dont l'intégration fera connaître z.

Pour opérer cette élimination, on difierentiera n fois la première équation, et m fois la seconde; on aura ainsi m 4- n 4- a équations entre lesquelles il sera possible

d'éliminer, par les moyens ordinaires de l'algèbre, les

dy d*y dm~^ny

m -f- n -f- 1 inconnues j, — , —, . . . , ^-^-. L'équation

finale sera, en général, d'un ordre égal au plus grand des deux nombres « + p, m-\-q\ toutefois cet ordre peut être moindre, si l'élimination a pu s'effectuer sans employer les m -f- n -h a équations.

623. Plus généralement, si l'on avait r équations différentielles contenant une variable indépendante x et r fonctions j', z, m, . . • de cette variable, on éliminerait y entre ces r équations, ce qui donnerait r — i équations

entre z, ii9...* On éliminerait ensuite z entre ces r — i équations, et ainsi de suite. On arriverait ainsi à une équation différentielle ne renfermant plus qu'une seule des fonctions inconnues.

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE ÉQUIVALENTS A U»E OU PLUSIEURS ÉQUATIONS d'uH ORDRE QUELCONQUE.

624. On peut remplacer une équation différentielle d'un ordre quelconque à deux variables par un système d'équations simultanées du premier ordre, en représentant par une lettre chacune des dérivées, excepté celle qui est de l'ordre le plus élevé. Ainsi l'équation

/ dy d*X d*y\

est évidemment équivalente aux équations suivantes :

dr , ày>

ls=''

dx

62o. De même les équations

Ie ( dy dmr dz dPz

\ dx dx™ dx dxP

\ ' dx dxn dx dxn J

dans lesquelles nous supposerons m > w, q> p, peuvent être remplacées par le système des équations du premier ordre

dr , dr' u <£-("»-»>

dx~ X' dx ~r '••'' dr —y '

dz . dz' „ dz<i->) , ,,

/ rfyim-i) \

^ / , ri r dz'*-V\

En général, étant donné un nombre quelconque d'équations différentielles renfermant une variable indépendante et plusieurs fonctions de cette variable, si Ton représente les dérivées, à l'exception de celles dont Tordre est le plus élevé, par des lettres, on aura un système d'équations simultanées du premier ordre qui sera équivalent aux équations proposées.

THÉORÈMES SUR LES INTÉGRALES DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES DU PREMIER ORDRE.