Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait trois

équations différentielles simultanées du premier ordre

entre une variable indépendante x et trois fonctions y,

z, u de cette variable. On pourra, en général, résoudre

, , . , dy dz du, .

ces équations par rapport aux dérivées ~-> — ? — et les

remplacer par des équations de la forme

4r__Q <fc

dx P dx

R du __ V

" P ' dx — P *

dx dy

dz da

ou

P, Q, R, V étant des fonctions déterminées. Le problème proposé revient donc à établir entre les variables x,y, *, u des relations telles, que les différentielles de ces variables soient proportionnelles aux fonctions P, Q, R,V.

Je dis maintenant que les relations cherchées doivent contenir trois constantes arbitraires. En effet, les équations (i) déterminent seulement les accroissements infiniment petits des variables j, z, u pour un accroissement infiniment petit de x. On peut donc prendre à volonté les valeurs de jr9 z, et u pour x=a. En raisonnant comme on l'a fait dans le cas d'une seule équation différentielle (549), on voit que j', z et u sont des fonctions

QUARANTE-* EU Y 1£ ME LEÇON. I 5g

déterminées de r, dépendant nécessairement de leurs valeurs initiales, qui sont tout à fait arbitraires. Les équations intégrales doivent donc contenir trois constantes arbitraires. Ces constantes peuvent d'ailleurs être remplacées par d'autres ayant avec elles des relations arbitraires, pourvu qu'on puisse déterminer les nouvelles constantes de manière que y, z et u aient des valeurs données correspondant à une valeur donnée de x.

627. On arrive à la même conclusion par la série de Taylor. En effet, si Ton représente par ya^ (-7-) > etc., les valeurs de y et de ses dérivées pour x = a, on aura

Ensuite, des équations

*ÏL — 5. — — — — — V dx~~V* â£~~p' îte""p*

(lnY

on peut déduire — — en fonction de x, yy s, u; par consé-

quent ( —-• I dépendra des valeurs arbitraires attribuées

à jr, s, u pour x = a. Donc le développement de y contiendra trois constantes arbitraires. Les valeurs de z et de u dépendront aussi des mêmes constantes.

Les raisonnements qui précèdent s'étendent évidemment à un nombre quelconque d'équations. Par conséquent m équations du premier ordre entre m H- 1 variables, et qui peuvent être mises sous la forme (i), admettent toujours m intégrales contenant m constantes arbitraires. Ces constantes doivent être telles, que Ton ' paisse donner à m des variables des valeurs arbitraires pour une valeur quelconque attribuée à la (m 4- 1)'*"" variable.