Exemples

i° #/> — yq = o.

11 faut chercher les intégrales des équations

dx dv dz

a: "~ jr ~~ o

ces intégrales sont

donc l'équation proposée est satisfaite par

z = ^(37), es désignant une fonction arbitraire.

ï&f COURS D ANALYSE.

1° px* — qxy = — y*.

Il faut intégrer les deux équations

dx __ dy dx __ dz xl xy x% yx

La première revient à

dx dy ,, , a

« — = — j d ou o = xy.

La seconde revient à

dx x* dz x*~ 6*™ On en conclut

a = z — - — • Sx

Donc l'intégrale cherchée est cp désignant une fonction arbitraire.

Solution : z -+- <p(a? -+-^).

4° py — qx — o.

Solution : z = <p(a?2 -î-/').

cas d'un nombre quelconque de variables

indépendantes.

6o2. La méthode suivie dans le cas de deux variables indépendantes peut aisément se généraliser. Soit à intégrer l'équation

CINQUANTE ET UNIEME LEÇOà . 1 85

dans laquelle P0 P2, ..., P„, R sont des fonctions données de n variables indépendantes xt, #2> . . . , xn, et d'une fonction inconnue z de ces variables, tandis que pt, P21 ' - • > Pn désignent les dérivées partielles

dz dz dz

<ùci dxt' 7 dxn

L'équation (i) est encore linéaire, du moins par rapport kpi7p27 . . .,/>«.

653. On a vu (n° 11 7) que si des quantités a <,aa, ..., a„, fonctions connues de x^ xt, . . ., xn et z, sont liées entre elles par une relation quelconque

ou, plus simplement,

(a) aj = cp(a„ a3, ..., an),

et si on élimine la fonction arbitraire à ou cp, on arrive à une équation de la même forme que l'équation proposée. On est donc conduit à chercher, pour cette dernière, une intégrale de la forme (a), en choisissant convenablement les fonctions a4, a2, . . . , a,2.

On tire de l'équation (2), en la difTérentiant tour à U ur par rapport à xi} x2f . • • , xn,

dx\ ^l dz dxt \ dxi ^x dz ]

din \ dx\ Pi dz J'

d%\ doi\ __ do / dif dx2\

dx^+Pn'dû ~ d^t \dx~n~hpn~dz~) ~*~-"

do l d%n dz

x„ \dxn

+ -jnr\zrzr+P*

doL„ V dxn r dz

Si nous ajoutons ces égalités membre à membre, après avoir multiplié la première par P,, . . ., la der-

nière par P„, il vient

(Pl/>i+...+ P»/>n)^J

Mais si l'équation (a) est une intégrale de l'équation proposée, P</?< +. . . + Pw/>« sera identiquement égal à R, et Ton aura

1 dx\ "' n dxn dz

~ 2ddïi

Cette équation sera vérifiée quelle que soit la fonction cp, si l'on choisit les a de manière que l'on ait, pour k — i, 2, 3, ...,/?,

( i\ P d%k ' u P drtk -U -i- P rfa* -u R rf** — A-

or, il résulte des calculs faits au n° 629 qu'il suffit de prendre pour ctif a2, ..., aLn des fonctions de xif x2, . .., x,n z telles que les équations simultanées

. « dx\ __ dxi dxR dz

() TT""^ =" = p7 " R"

aient pour intégrales

On est donc ramené à trouver les intégrales du système (5) ; si Ton y parvient, on aura l'intégrale de l'équation proposée sous la forme (a) ; d'ailleurs, la valeur de z qu'on en déduirait pourra, à cause de l'indétermination de la fonction <p, coïncider, pour xx = $,

avec telle fonction que Ton voudra de x2, x3, • - . , xn ; ce sera donc l'intégrale générale.

On démontrerait encore, par un calcul analogue à celui du n° 6-48, qu'une intégrale quelconque de l'équation (1) doit être comprise dans la forme (2), oc4, a2,

a„ étant toujours déterminées comme il a été dit tout à l'heure.

654. On pourrait satisfaire à l'équation (3) en supposant que l'équation (4) fût seulement vérifiée par quelques-unes des fonctions a, les dérivées partielles de cp par rapport aux autres a étant nulles ; il est clair qu'on arriverait alors à des intégrales particulières.

On peut voir aussi, comme au n° 650, que l'intégrale trouvée conviendrait à chacune des n équations dont le type serait

t> dx§ jy dxi > dxt

*i -77- -'-... -+- ri-i -, h r/4-t -7- h . . .

dxj^ dxL

^ Vn dxn + K dz ~ P/'

Xi étant fonction de xt, Xi, . . ., #*«, Xi+i, . . . , xn et z»