ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES

656. L'étude des équations non linéaires aux dérivées partielles nous amènera à considérer des équations de la forme

( i ) X dx -+- Y dy + Zrfs = o,

dans lesquelles X, Y, Z sont des fonctions données de x,y, z\ ces trois dernières variables étant assujetties à une seule condition, on peut regarder deux d'entre elles, x et y par exemple, comme indépendantes, z étant fonction des deux autres : alors dz est la différentielle totale de z correspondant aux accroissements dx et dy des deux variables indépendantes.

On voit tout de suite, en raisonnant comme au n° 530, que l'expression de z en fonction de x et de y doit nécessairement dépendre d'une constante arbitraire ; car donnons-nous la valeur z0 de z pour x = x0 et y =yo 5 l'équation (i) nous donne les accroissements dz que z0 doit subir quand on passe des valeurs x0, y0 des variables indépendantes à d'autres valeurs qui se succèdent par degrés infiniment petits ; la valeur générale de z dépend donc de sa valeur arbitrairement choisie au point de départ.

Toutefois, on n'est plus certain de former de la sorte une fonction bien déterminée de x et dey : il pourrait arriver qu'en faisant croître ces variables de x0 à x, et dey0 à/l} on obtînt pour z une valeur qui dépendît de la loi des accroissements simultanés de x et de y, et fût absolument indéterminée. Et précisément, nous allons voir que l'équation (î) ne peut donner pour z une valeur fonction de x et de y, dans le sens ordinaire de ce mot, que si une certaine condition est remplie.

Si nous posons

nous tirerons de l'équation (i)

dz = Pdx + Qdy; on a donc

dz . dz

mais, d'après une propriété générale des fonctions de plusieurs variables, on doit avoir

d dz __ d dz dy dx ~~ dx dy

Pour calculer ces dérivées secondes, il faut remarquer que P et Q contiennent non seulement x et y mais encore z qui est fonction de Tune et de l'autre ; la condition devient, eu égard au* équations (3),

{i) dy^^dz dx^ dz'

effectuons les différentiations en remplaçant P et Q par leurs valeurs (2) : on peut tout multiplier par Z2, et il vient, après de simples réductions,

\dz dy) \dx dz ) \ dy dx]~~

Nous avons dit que pour des valeurs quelconques de x et y on peut se donner arbitrairement z ; l'équation (5) doit être vérifiée pour un système quelconque de valeurs de x,y, z ; elle doit donc être une identité.

657. La condition (4) ou (5), nécessaire pour l'existence de la fonction cherchée z7 est aussi suffisante : nous le reconnaîtrons en apprenant à déterminer z. Il faut et il suffit que cette inconnue satisfasse aux deux équations (3) : considérons d'abord l'une d'elles, par

igO COUH.J» D ANALYSE.

exemple

puisque l'équation ne contient pas de dérivée relative à y, on peut (64i) l'intégrer comme une équation différentielle ordinaire, en traitant y comme une constante, à la condition de remplacer la constante d'intégration par une fonction quelconque, a, de y. Soit donc

l'intégrale de l'équation (6) : je la suppose résolue par rapport à z pour abréger l'écriture dans l'analyse actuelle ; mais dans la pratique on la prendra sous la forme où elle se présente. Nous devons déterminer a de manière que la seconde condition (3) soit satisfaite, c'est-à-dire que l'on ait

O - — dFd* dy ~TT da dy9 d'où

.Q, dOL / d¥\ dF

(8) dy-{^d^):di'

Le premier membre est fonction de y seul; le second membre, quand on aura remplacé z par sa valeur (7), devra être indépendant de x ; en égalant à zéro sa dérivée relative à x, on trouve

dQ p</Q d*F \ dF / dF\ d*F dx dz dx dy / d% \ dy) dx dx ~ '

ou, en ayant égard à l'équation (8) et divisant par

àF . , t .

-j- 9 qui n est pas nul,

dx ' dz dx dy dx da dy ~~

Mais, l'équation (7) étant l'intégrale de (6), on a identiquement

p dF

l^a dérivée du premier membre de celte identité par rapport ky est nulle :

d? QdP d*F d*F dz

dy dz dx dy dx d% dy ~~

Si l'équation (4) est satisfaite, cette identité prouve que l'équation (9) est aussi identiquement satisfaite. L'équation (8) est alors une équation différentielle ordinaire entre a ety, z étant remplacé par sa valeur (7); on peut en trouver l'intégrale, qui contient une constante arbitraire G, et il suffit d'éliminer a entre cette intégrale et l'équation (7) pour avoir la relation cherchée entre x, y, z et G.

On aurait pu partir de la seconde des équations (3), ou même prendre z avec x ou y pour les variables indépendantes. Dans tous les cas, il faut d'abord intégrer l'équation à laquelle se réduit la proposée quand on suppose constant x,y ou z; on fera le choix qui doit rendre cette première intégration la plus facile.

658. Quand la fonction z existe, ou quand l'équation proposée est intégrable, on peut supposer l'intégrale résolue par rapport à la constante qui y figure :

on en tire

dv , rf© . dv .

-~ dx -\ — î- dy -\ — r*- dx = o ;

dx dy ' dz

pour que cette équation et la proposée soient satisfaites par les mêmes valeurs de dx, dy, dz, il faut qu'on ait

2* — ïi — ïk-

ces relations, devant avoir lieu pour un système quelconque de valeurs x0,y0, z0, sont des identités : si Ton appelle jjl la valeur commune des fractions, on aura

IÇ2 COURS D ANALYSE.

identiquement

^ dx' p dy9 * dz'

il existe donc au moins un facteur p., fonction de x,y, z, par lequel il suffit de multiplier X dx H- Y dy 4- Z rfs pour Je rendre différentielle exacte.

Si Ton ne connaît pas l'intégrale de l'équation (1), la recherche régulière du facteur d'intégrabilité p. est difficile; mais il est bon de regarder si on ne l'aperçoit pas immédiatement, comme cela arrive dans les cas simples ; on en déduirait l'intégrale avec une extrême facilité.

659. Exemple. — Soit l'équation (1) yzdx — xzdy — (x*-+-y*)dz = o.

L'équation de condition (5) est ici

yz(— x~h iy) — xz( — 2X — y) — (x*-hy*)(z -h z) = o :

elle est identiquement satisfaite. Gomme c'est z qu'il faut supposer constant pour simplifier le plus possible l'équation (1), je prends y et z comme variables indépendantes. On doit avoir

dx x dx a** -4- v*

dy y dz yz '

la première condition donne x = ay, a étant une fonction de z; la seconde condition devient alors

d.r dz __ y*(i -4- a*) # dz ~~* dz ~~ yz

elle se réduit à une équation entre a et z, soit

dz t -4- a* di dz

dz ~~~ z 1 -t- a2 "" z '

d'où