La formule

rcos'j -+- 2J siny cos? -h f sin'y

précédemment obtenue pour le rayon de courbure d'une section normale faisant avec le plan des xz un angle <p, dépend des valeurs des dérivées partielles du second ordre au point considéré de la surface. Nous avons tacitement admis que r, s et t avaient, en ce point, des valeurs déterminées et indépendantes de l'angle cp. Mais ces fonctions

se présentent quelquefois sous Tune des formes - ou — >

quand x, y et z deviennent nulles; il faut alors chercher directement les rayons de courbure des sections normales qui passent à l'origine des coordonnées. Soit, par exemple, l'équation

/ désignant une fonction quelconque, mais bien déterminée, de — • Elle représente une surface dont les sections normales à l'origine sont des paraboles ayant pour

CINQUANTE-CINQUIÈME LEÇON. %f\\

axe commun Taxe des z. Les dérivées partielles du premier ordre sont :

p=**f(£)-yf(J;»

et les dérivées du second ordre :

On a bien, en général, par ces formules, p = o, q = o, pour x = o, y = o. Quant aux valeurs de r, s, *, elles se présentent sous une forme indéterminée. Mais il est facile de trouver le rayon de courbure d'une section normale dont le plan fait l'angle <p avec le plan des xz. Supposons que, dans le voisinage du point O, la surface soit représentée par la fig. 121, et posons TOA = M'0'A' = cp.Ona

.. O'ivr . or

p = lim —ç^, = lim ;

mais 3: est égal à 0'M'cos<p, et l'équation (1) donne

z=^z2 = 2C0S*?/(tangcp)= -• O'M' P

Ondoitremarquerqu'enfaisantvarierranglecp, le rayon de courbure peut avoir, selon la forme de la fonction/, un nombre quelconque de valeurs maximums ou minimums, et il y aura autant de maximums que de minimums puisque ces valeurs doivent se succéder alternativement

Stirn. — An., II. 16

quand on fait varier <p de o à arc, et que la section normale revient à sa position primitive.