TANGENTES CONJUGUÉES
716, Soit MM' une courbe quelconque située sur une surface : imaginons les plans tangents menés parles points Fijj. 122. M et M'. Si le second point se rap-
|z proche indéfinimentdu premier,
n, l'intersection des deux plans va-
in j / riera de position et deviendra, à
/ ^ -^ x la limite, une certaine tangente à / f~ la surface passant par le point M.
/y Celte droite limite et la tan-
gente MT à la courbe MN sont dites tangentes conjuguées. Prenons pour origine le point M, pour plans des coordonnées xy, xz,yz, le plan langent, et les plans des sections normales principales correspondant à ce point. On aura, au point M, x = o,y = o, s = o, puis p = o, 7 = 0 et s = 0 (n° 702).
L'équation du plan tangent en Mf[x',y\ z1) est
p1 et q1 désignant les valeurs de p et de q relatives au point M'. D'après la formule de Maclaurin, on a
z' = px' -h q/ 4- - (rx'* -4- 2 sx'f -+- ty'*) -f-
On aura donc, en négligeant des infiniment petits du troisième ordre,
z'=z i(rx/I^-0',,)•
On trouvera de môme
p' = rx', q' = tjr' .
Par suite, les équations des plans tangents menés aux
points M et M7 seront
rr' (X — *') -+- tf \Y - y1) -+- i (rr"-t- t/*) - Z = o.
Ces deux équations représentent l'intersection des deux plans tangents. Or, si Ton porte dans la seconde la valeur Z z= o, on aura, en réduisant,
rx' X -t- tf Y — i (rr" +- //') = o.
Posons jr' = mx\ m étant le coefficient angulaire de la projection de la droite MM', qui, à la limite, se confond avec la tangente MT. L'équation précédente devient
rX -f- tm Y x' [r-T- tm*) = o,
et quand le point M' se réunit au point M, on a x' = o, et
équation de la tangente conjuguée définie plus haut. On voit que si m' désigne son coefficient angulaire, on a
m'= — ~ tm
ou
mm' =zi-
717. Deux tangentes conjuguées sont parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice. En effet, si
est l'équation de l'indicatrice, on a, entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués, la relation
.mm = r
On a d'ailleurs (702 et 711)
par conséquent,
mm' = =r •
ce qui démontre le théorème énoncé. Les rayons de courbure étant proportionnels aux carrés des diamètres de l'indicatrice, il résulte d'une propriété bien connue des sections coniques que la somme algébrique des rayons de courbure correspondant à deux tangentes conjuguées est constante.
EXERCICES
