LIGNES DE COURBURE
718. Soient S une surface rapportée à trois axes rectangulaires quelconques ; M (or, y, z), un point de la surface, et MN la normale en ce point. Si M' (x\yf, z') est un second point de la surface, voisin de M, la normale M'N' ne rencontrera pas la première normale MN, à moins qu'il n'y
o\ ajj entre les coordonnées de
/ ces deux points une certaine
/ relation que nous allons cher-
cher.
La normale MN a pour équations
(2) y-jr-r-jfZ-*}— o.
Si p' et q' désignent les valeurs de p et de q relatives au point M', la normale M'N' aura pour équations
En éliminant X entre les équations (i) et (3), on a
x' — x -h p'z' — pz £+ — •
L'élimination de Y entre les équations ( a) et (4) donne
On a donc l'équation de condition
, z , x' — xA-p' z' — pz y' — r -+- q* V — qz
Cette équation et celle de la surface
représentent une courbe MM' située sur la surface, et passant par le point M. Toutes les normales à la surface menées par les divers points de cette courbe iront rencontrer la normale MN.
719. Concevons maintenant que le point M' se rapproche, de plus en plus, du point M : la droite MM' deviendra la tangente, et les différences x' — x^j' — y, zf — zs p' — P) q1 — q devront être remplacées par les différentielles dx, dy,dz, dp, dq. De même p'zf — pz = d [pz)y q* V — qz = d[qz). On aura donc, à la limite,
dx -f- pdzA- zdp djr -{- qdz-\- zdq dp dq
dx-\-pdz djy-hqdz
dp dq
dz = pdx -f- q dyy dp = rdx -h sdj, dq = tdjr -h sdx;
dy dy
r-hs~ s-\-t-j-
(8)|[(-+ffV-W](J)' + [(i+^r-(.+^<l£
( -hpqr — (j -\-p2)s = o.
ou simplement
(7) Mais on a
donc
Cette équation donne deux valeurs de -~ Elle indique
deux directions suivant lesquelles il faut passerdu point M à un second point infiniment voisin, sur la surface, pour que la normale en ce point rencontre la normale au
point M. Prenons l'une des valeurs dey-» et la valeur
dz correspondante de — • Soit M' le point correspondant.
On passera, de même, du point M' à un troisième point M*, et ainsi de suite. On aura donc une ligne MM'M". . . , telle que toute normale à la surface menée par un de ses points rencontrera la normale infiniment voisine en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur à
celui de MM', M' M", etc. La seconde valeur de -£
' ' dx
donne une autre ligne jouissant de la même propriéié. On nomme ligne de courbure le lieu des points d'une surface pour lesquels les normales se rencontrent consécutivement. Par chaque point d'une surface il passe deux lignes de courbure représentées par l'équation différentielle (8), et par l'équation de la surface. En éliminant z, on aura l'équation de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy. L'intégration donnera deux équations contenant deux constantes arbitraires qu'on déterminera en faisant passer la ligne par un point donné de la surface.
