PROPRIÉTÉS DES LIGNES DE COURBURE
720. Prenons la normale MN pour axe des z ipetq sont nuls, et l'équation (8) devient
Le produit des racines de celte équation est égal à — i ; donc les tangentes menées aux lignes de courbure qui se croisent au point M sont perpendiculaires entre elles.
CINQUANTE-SIXIÈME LEÇON. 2$g
Si maintenant on prend les plans principaux pour plans des zx et des zy, on a 5 = 0 (702). L'équation (9) a une racine nulle et l'autre infinie : donc les deux lignes de courbure ont respectivement pour tangentes, au point M, Taxe des x et Taxe des^y, c'est-à-dire les tangentes aux sections principales. Les deux séries de ligne de courbure se coupent donc à angle droit sur la surface et la partagent en rectangles infiniment petits.
Si l'on avait, à la fois, s = o, r = £, les deux valeurs de
— seraient indéterminées. Il y aurait une infinité de
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lignes de courbure passant par le point M, autour duquel toutes les courbures seraient égales : ce serait donc un ombilic. Ce caractère peut servir à trouver les ombilics
d'une surface, car si l'on exprime que l'équation (8) donne
dr pour — une infinité de valeurs, on aura les deux conditions déjà trouvées (706)
721. Soient O un point de la surface, Oz la normale, OA et OB les deux lignes de courbure, Ox Oy leurs tangentes. Si 0; et O' sont deux points infiniment voisins du point O sur les lignes OA et OB, les normales O'K et O'L peuvent être considérées comme rencontrant Oz :
soient K et L les points d'intersection. Je dis que OK et OL sont les rayons de courbure, au point O, des sections principales^ Ox, zQy. En effet, puisque Ox est tangente à la courbe OA, le point 0; infiniment voisin du point O sur OA peut être considéré comme appartenant au plan zO&* Donc la droite O'K qui est normale à la courbe OA, comme étant normale à la surface, déterminera, par
aOO COURS D ANALYSE.
sa rencontre avec la normale Oz, le centre de courbure de la section principale située dans le plan zOx. On ferait voir de la même manière que OL est le rayon de courbure de la section principale faite par le plan zOy.
