h ac
est l'intégrale générale de l'équation (3). En faisant varier c, on aura les projections sur le plan des xy de toutes les lignes de courbure. Ces projections sont des ellipses si Ton a c<^o, des hyperboles quand c est ^> o. Elles ont toutes leur centre à l'origine.
Détermination delà constante c, — Si Ton veut avoir les lignes de courbure qui passent par un point (x\ j'7 z') de la surface, on déterminera c par l'équation
ab(a — b)r b -H uc
OU
(6) ax'*c* -+- f bat* — ay'*-+-ab{a — b)]c — £/» = o.
On en tire deux valeurs de c réelles et de signes contraires, puisque a et & sont de même signe. Ces deux racines étant désignées par m et — n9 les projections des lignes de courbure seront représentées par les équations
ab{a— b)m (n) jr = «*» H 7 >
La première courbe est une hyperbole, la seconde une ellipse.
Discussion. — La constante m peut varier de o à Tin-
fini, mais la constante n doit être plus grande que - ? et
ne peut varier que de- à l'infini. En effet, l'équation (8)
étant mise sous la forme
ab(a — b) n
jr*-h nx*=z
an — b
le second membre doit être positif: donc, puisque a est
]> è, il faut que Ton ait an — b ]> o, ou n ]> -•
Examinons maintenant les hyperboles représentées par l'équation (7). A cause de l'hypothèse a^>&, elles ont, toutes, leur axe réel dirigé suivant Taxe des j*. La valeur du demi -axe transverse est
I ab (a — b) m
y 0 -t- a*n ou bien
Jab(a —h)
Si m varie de o à l'infini, cet axe augmente de o à
yjb(a — b). En mettant l'équation (7) sous la forme
m b -h am
on voit que pour m = 00 elle se réduit à x — o. L'hyperbole se confond alors avec l'axe des^y, ou plutôt avec la portion de Taxe des y qui commence à une distance de
l'origine égale à dt \jb (a — b).
Les ellipses représentées par l'équation (8) ont leurs axes dirigés suivant les axes des x et desj'.
Les demi-axes ont pour expressions
— b) /ab(a-b)
Le premier, dirigé suivant Taxe des x, diminue de Tinfini à o, quand n augmente de - à l'infini. L'autre demi-
axe diminue de l'infini jusqu'à \jb (a — b). Donc, tout point situé sur l'axe des y et a une distance de l'origine
plus grande que yjb (a — b) sera le sommet d'une de ces ellipses. Pour n = 00 l'ellipse se réduit à l'axe desj^, comme le montre l'équation (8) mise sous la forme
j* , ab{a — b)
n an — b
cela résulte encore de ce que l'autre axe se réduit alors à o.
Si x' = o, une des valeurs de c est infinie, et l'autre est positive ou négative suivant que j'' est inférieur ou supérieur à \jb [a — b ) . Les projections des lignes de courbure sont alors l'axe des y, et des hyperboles ou des ellipses.
selon que^' est plus petit ou plus grand que \jb [a — 6). S\yf = o, une des valeurs de c est nulle, et l'autre toujours négative. Dans ce cas, les lignes de courbure ont pour projections l'axe des x et des ellipses*
EXERCICES
1. Trouver les lignes de courbure de l'ellipsoïde* Solution : Soit
l'ellipsoïde donné, a > b > c. Les projections des lignes de courbure sur le plan des xy sont, pour l'un des systèmes, des ellipses
X et Y étant les coordonnées d'un point de l'hyperbole
et, pour le second système, des hyperboles
dont les demi-axes sont les coordonnées d'un point de l'ellipse
a2 — c2 ar — c3
Sur le plan du grand axe et du petit axe les projections des deux systèmes de lignes de courbure sont des ellipses.
2. Lorsque trois surfaces se coupent orthogonalement, l'intersection de deux quelconques d'entre elles est une ligne de courbure de l'une et de l'autre.
3. Lorsque deux surfaces se coupent suivant une ligne de courbure commune à l'une et à l'autre, elles se coupent sous le même angle en tous les points de cette ligne.
Stcum. — An*i II. \~]
