Équation différentielle des lignes de courbure. — Soit

ia ib

l'équation d'un para bol oïde elliptique. On a, dans cet exemple,

L'équation générale (719)

(i 4- p*) dx + pqdy (i + fj*) dy -4- pqdx

riix-\-sdy sdx-\-tdy

devient

ou, en ordonnant,

xy dy7 / i i X* y3\ <ty x?

flï",S + lï"~â+ ~d*b ~ âtë) dx~~ ârb~~~°y

et, multipliant par ~»

rdx

l/z£*.ra«/xa \ï « /ï'A ab*)x*xdx (3) '

a54 cours d'analyse.

c'est l'équation différentielle des lignes de courbure du

paraboloïde elliptique.

Intégration de V équation (3). — Si l'on fait x* = m, y% = m, cette équation devient

. . i (du\* /i i 9 u \ du u

Comme u et c n'entrent qu'à la première puissance, on peut y satisfaire en substituant à u une fonction linéaire de v. Posons

m = a* + c , d ou — — c.

En remplaçant u et — par ct> + c' et c dans Téqua-

tion (4), les termes qui multiplient v se détruisent, et il reste

\b a ab1JC~~a1b~~0y

d'où

. ab (a — b)c