NOTIONS PRÉLIMINAIRES

727. Le but général du calcul différentiel est de chercher les limites des rapports des accroissements simultanés de plusieurs quantités variables, ce que Ton peut faire sans considérer les valeurs numériques de ces accroissements. Dans le calcul aux différences finies, on s'occupe», au contraire, de ces valeurs numériques et on en cherche la loi.

Soient

une suite de valeurs successives que reçoit une quantité variable. Si Ton retranche chacune de ces valeurs de celle qui la suit, on obtient ce qu'on appelle les différences premières de ces valeurs, et on les représente par

en sorte que Ton a

ic, — n0 = Atf0, «a — Wi =Aa„. . . , ulH.K — trR = AuR,. . . .

En opérant de la même manière sur la suite des différences premières, on obtient une suite de différences secondes, qu'on représente par

A'g9, Aa#i> A' «2,..., A'if,,,...!

ClMQUÀJfTE-SEPTIÈME leçoh. %5g

On a donc, par définition,

Au, — Ar/*:=A*«0, A«j — A«, = Aaf/,, . . . •

On formera de la même manière les différences troisièmes, quatrièmes, etc.

Par exemple, la suite des carrés des nombres entiers

i, 4> 9? rô> ^5, . . . ,

a pour différences premières

et pour différences secondes

les différences troisièmes et, par suite, les différences d'un ordre supérieur, sont nulles.

Dans cet exemple, toutes les différences secondes sont égales à a. Si l'on admet la généralité de cette loi, on pourra prolonger indéfiniment la suite des différences premières, et, par leur moyen, celle des nombres carrés.

728. Le calcul des différences est fondé sur quelques principes analogues à ceux qui forment la base du calcul différentiel.

En premier lieu, u, f, z étant des quantités variables, on a

(i) A(m-4-c — :)=:A« + Ac — Az,

c'est-à-dire que la différence d'une somme est égale à la somme algébrique des différences de ses parties. En effet,

= (uï — u)+ [vx — v)— (Zi — -z) = Ah +Ac — Az.

La différence d'une constante est nulle. Donc

(l) à(u -+- a ) = Au.

On a encore

(3) bau = a Au y

car ùau = aut — au = a (ut — u) = a Au.