EXPRESSION DE A" II

729. Proposons-nous de trouver l'expression de A" m en fonction de i/, u, , . . . , un. On a d'abord

Au = «, — a,

Aa, = u, — «,.

Mais

As//t doit être composé avec us, ut} i/l9 comme A* m avec r/t| ui9 u. On a donc

A*Ut == U3 — 211, -+- «,,

et en retranchant A* m de A**/, ,

A8 a = Ui — 3ui -+- 3 a, — a.

On trouvera de la même manière

A4 a = a4 — 4as "+" 6a, — 4W" "+" "»

et ainsi de suite. On voit que les coefficients numériques qui entrent dans l'expression des différences A* a, A3 m, A4 a, sont les coefficients des puissances deuxième, troisième, quatrième du binôme, d'où l'on conclut, en généralisant ,

(i) A"a = utt — nu„t H //n, — . . . ± «,

ou, sous une forme symbolique,

égalité qui tiendra lieu de la précédente, pourvu qu'après

CINQUANTE- SEPTIÈME LEÇOW. 26 I

avoir développé le second membre par la formule du binôme, on remplace u°, w1, u% . . . , par m, ut, ut,. . , . Pour démontrer la généralité de cette loi , posons

On aura également

et, en re tranchant Anu de A"u« ,

Or, si 1, À, B, C, . . . sont les coefficients de (x -f- 1)", on sait que i, î-t-A, A-f-B, B-+-C,... seront les coefficients de (x H- i)n+l. Donc, si la formule (i) est vraie pour l'indice /i, elle l'est encore pour l'indice n -f- i, ce qui démontre sa généralité.

730. Autrement, supposons la loi démontrée pour l'indice n et posons

b»u =\ lLup = (u — i)C«),

on aura

D'où

A"«, =\ Kup+l.

â"+*u =z\ Rk^, — V Kup,

=\ K(«/H-, — up), et, sous une forme symbolique,

A"+Iii=y KuP(u — 1).

Il résulte de là

A*+lu = (u — i)y KuP = (u — i)(u — i)C»),

et, par conséquent,

EXPRESSION DU TERME GÉNÉRAL D'UNE SUITE, EN FONCTION DU PREMIER TERME ET DE SES DIFFÉRENCES SUCCESSIVES.