On peut aussi inteivertir l'ordre des signes S

etf-

En effet, soit

U= / Vdx;

soient w© et ut les valeurs de la variable indépendante u qui correspondent aux limites x0 et xt : on aura

Vdx= »

jc9 J u%

dx V-rdu.

du

Supposons maintenant que t se change en t H- et : il viendra

tU = 3 1 V^du.

du

Puisque les limites t#0 et ui sont indépendantes de la variable t à laquelle se rapportent les différentiations indiquées par la caractéristique <?, on peut diffé rentier

le signe I ? ce qui donne

sous

mais u ne variant pas avec t, on a

et si Ton opère l'intégration par rapport à a:, il en

résultera

ou bien

\dx = S(Vdx)

ce qu'il fallait démontrer.

VARIATION D'UNE INTÉGRALE DÉFINIE. — CAS.OU LA FONCTION SOUS LE SIGNE I NE DÉPEND PAS DES LIMITES.

763. Proposons-nous de trouver la variation de l'intégrale définie

U= f Vrfx,

Jxt

où V désigne une fonction quelconque de x, de y et d'un certain nombre de dérivées de y prises par rapport à x. Pour simplifier, nous supposerons que le nombre de ces

dérivées se réduise à deux : soit

dy d —

dy dx

D'après le théorème démontré (762), on a d'abord

Mais

$.Ydx = $V.dx + V.âdx = $\.dx-hV.dtx.

Or, on a en général

rVd$x = V8x— CixdW

Donc, si (V5,r)0 et [\ dx)i désignent les valeurs de \dx

qui correspondent à x = x0 et à x = xt , et si Ton pose pour abréger.

(Vtx)l = (V*x)x — (V**)#,

on aura

' Vd9x = {V9x)\— ! Sxd\.

Substituant cette valeur dans l'équation (i) qui revient à

SV=f '(SVdx+Ydtx)%

il en résultera

(3) $U=:(V**);+ f \$Ydx—txdV).

Par cette première transformation, la fonction Y n'entre

plus sous le signe / que par sa variation et par sa différentielle.