Soient

l'équation d'une courbe CMD, et

l'équation d'une autre courbe C'ND' qu'on obtiendrait en faisant varier extrêmement peu la fonction f(x) . Si Ton appelle oy l'accroissement de l'ordonnée MP quand on

passe à la seconde courbe, l'abscisse restant la même, on aura

Fig. 127.

fy — kp __ MP,

^^(.rj-f f^-

Cette différence dy est ce qu'on nomme la variation de l'ordonnée ou de la fonction.

On voit par là que la différentielle est l'accroissement de l'ordonnée quand on passe du point M à un point infiniment voisin sur la même courbe, tandis que la variation est l'accroissement de cette même ordonnée quand on passe du point M à un point infiniment voisin sur une courbe infiniment peu différente de la courbe donnée.

756. On ramène les variations aux différentielles en regardant y comme une fonction de x et d'un paramètre arbitraire t. Soit

et supposons que <f (x, t) devienne f(jr) pour une certaine valeur de t, et que pour une valeur peu différente, t-t-dt) cette fonction devienne £(x). En appelant dy l'accroissement infiniment petit de j, lorsque t reçoit l'accroissement $t, on aura

J Ut

Si, au contraire, t reste constant, on a

-d-ld*.

Ainsi dy et dy sont les différentielles d'une même quantité; mais dy est la différentielle de y considérée comme fonction de t, x restant la môme; tandis que dy

est la différentielle de y considérée comme fonction de x, t ne changeant pas.

757. Il est souvent nécessaire de faire varier, à la fois, x et y, quand on passe de la courbe proposée à la courbe infiniment voisine. On représente alors par dx et par iy les accroissements, d'ailleurs arbitraires, de ces deux variables. On peut, sans établir de liaison entre ces accroissements, regarder x et y comme des fonctions d'une variable indépendante u, et d'un certain paramètre t : soit

On supposera que pour une valeur particulière de f, par exemple t = o, y devienne une certaine fonction de Xy ((x) et que x devienne une fonction quelconque de u,f(u). On aura donc

En faisant ensuite varier t d'une manière continue, à partir de o, la forme de la fonction de x, représentée par y, changera insensiblement.

Pour avoir les variations de x et de yy on multipliera par dt les dérivées de ç(m, t) et de ^(w, /) par rapport à £, et Ton aura

au lieu que, si laissant à t une valeur constante on faisait varier u, on aurait

djcz= -~ du, dr = —r- du, du du

758. Lorsque x et y prennent les accroissements Sx et ây, toute fonction U, qui dépend de x, dey, et d'une ou de plusieurs dérivées de y par rapport à x9 prend un accroissement correspondant AU. On appelle variation de U la partie de A U qui ne dépend que des premières puissances des variations cJ^r et $y.

Or, d'après la formule de Taylor, on a TT dV . dli .

On aura donc

.TT d\5 dV.

dx dy J

Si Ton considère xetj comme des fonctions d'une variable indépendante u et d'un paramètre £, on aura

*U = — Se,

— désignant la dérivée par rapport à t, de U considérée

ddJL

dy dx comme fonction de ar, r, — ? -3 — > • • » > et ces dernières

•^ dx dx quantités comme fonctions de t.

759. On appelle variation seconde d'une fonction U la variation de dU : on la désigne par cJ'U. La variation de cette dernière est appelée variation troisième de U et se désigne par d'U, et ainsi de suite.