DÉFINIE
770. Les calculs par lesquels nous venons d'évaluer la variation d'une intégrale définie peuvent être modifiés dans les applications.
On a, précédemment (762), obtenu la formule
Ydx= j 3(Ydx).
Après avoir remplacé dans V, qui est une fonction de x}y9
p et q, ces deux dernières quantités par -^-> — - — , on
prendra la variation de \dx en considérant x, y, dx9
dy, d -j- comme des fonctions du paramètre t. Le résultat
contiendra, sous forme linéaire, les variations dx, $ y, et $dx, ddy, . . . , ou les différentielles d âxy d$y, .... Comme on doit ensuite intégrer par rapport à x, on fera
sortir du signe / , au moyen de l'intégration par parties, les différentielles des variations $x, Sy9 de sorte qu'il ne restera sous le signe, que ces variations multipliées par des quantités qui en sont indépendantes. Le
2g4 cor 11 s d'analyse.
résultat sera de la forme
H et K étant des fonctions connues de a:, y et des dérivées de j", mais ne contenant pas les variations de ces variables. En comparant ce résultat avec celui qu'on a trouvé plus haut (766)
on en conclura que T et K doivent être les mêmes dans les deux expressions, et qu'on a identiquement
H = — Kp.
771. Le calcul qui a donné l'équation (I) n'a servi qu'à mettre en évidence celte relation. Dans les applications, on suivra la marche qui nous a conduit à la relation (II), sans passer par l'intermédiaire de la quantité auxiliaire &>, et sans recourir aux formules générales (766).
Si l'on ne faisait varier que jv", on aurait Sx = o et
Jx9 J x%
Tf se déduisant de I\ par la suppression des termes qui renferment § x0 et dxx.
Si Ton faisait varier x seulement, on aurait
1 vdx^ r"-f- / nsxdx
Kp$xd.ry
T" représentant ce que devient T quand on yfait<fyo = o,
772. Les mêmes remarques s'appliquent au cas où il entre dans la fonction V une autre fonction z de x avec
les dérivées p1 et q ' de z. On arriverait à une équation telle que
x9 Jx0
Mais la marche suivie pour trouver la relation (II) donnerait encore
6 j Ydxz=T + I [K($y — p8x)+K'($i—p'8x)]dr,
et ces valeurs doivent être identiques. Il faut donc que
Ton ait
H = —(K/>-r-Ky).
MAXIMUM ET MINIMUM d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE.
773. Proposons -nous maintenant de déterminer, ,la valeur dey en fonction de x qui rendra l'intégrale
\dx
un maximum ou un minimum. Pour fixer les idées, supposons que U doive être un minimum, et soit y ^=f(x) la fonction cherchée. Il faut qu'en donnant à x et ky des accroissements arbitraires et infiniment petits dx et <3y,
l'accroissement correspondant de l'intégrale / Ydx
soit constamment positif, quels que soient les valeurs et les signes de $x et de Sy. Or, l'accroissement de cette
intégrale se compose de deux parties. Si Ton pose
au = au 4- p,
la première partie JU renferme les variations $x> 3y, Sp} $q au premier degré, et sous forme linéaire 3 la seconde partie contient les puissances de ces variations supérieures à la première et leurs produits. Quand 3U n'est pas nulle, le rapport de p à dU a pour limite o. Donc, si
Ton suppose âx et ây infiniment petites, le signe de AU sera le même que celui de dU. Il faut donc, pour que U ait une valeur minimum, que Ton ait âXJ = 05 car autrement, en changeant les signes des variations âx et ây sans changer leurs valeurs absolues, le signe de olJ, et par conséquent celui de AU, serait changé, et U ne serait pas un minimum. Ainsi
est la condition du minimum; c'est aussi celle du maximum, car la différence AU doit aussi, dans ce cas, avoir toujours le même signe, ce qui ne pourrait être si la variation de U était différente de o.
La condition JU = o n'est pas suffisante pour qu'il y ait maximum ou minimum. En effet, d'après la série de Taylor, on a
AU = <ÎU -f- — <52U H ï-^ J»U -+-
si â\5 est nulle, le signe de AU dépendra de celui de d*U pour de petites valeurs de âx et de ây. Par conséquent, si cJ'U reste toujours positive, lorsque les variations âx et à y changent d'une manière quelconque, tout en restant infiniment petites, U sera un minimum. Si, au contraire, d*U reste négative, quels que soient âx et ây, U sera un maximum. Enfin U ne sera ni un maximum ni un minimum si â*\J peut changer de signe. Mais on est souvent dispensé de cet examen par la nature de la question qui indique clairement l'existence d'un maximum ou d'un minimum.
