L'équation JU = o revient à

f KW* = o (766).

Je dis que cette équation entraîne les deux suivantes (2) r = o, K = o.

SOIXANTIÈME LEÇON. 2QJ

Et d'abord la fonction K doit être nulle. En effet, supposons qu'il n'en soit pas ainsi. On peut, pour chaque valeur de x comprise entre x0 et xx, changer à volonté les valeurs de Sx et de ây, qui sont arbitraires, et conséquemment celle de o> ou dy — p Sx, en supposant constantes les valeurs de 5x0, <3yo, dp0, d#i, àjri9 àpi> qui sont relatives aux limites x0 et xt. Mais le terme r, qui ne contient que les variations relatives aux limites, resterait

constant, tandis que l'intégrale / KaxZr, contenant la

fonction arbitraire o>, ne pourrait pas toujours conserver la même valeur quelle que fût cette fonction a), et par conséquent l'équation (i) ne pourrait pas être toujours satisfaite si K n'était pas zéro.

On peut d'ailleurs établir ce point de la manière suivante. Comme o> est une fonction arbitraire, en la choisissant de manière qu'elle ait le même signe que K pour chaque valeur de x, si la quantité finie T est positive ou nulle; ou qu'elle soit de signe contraire à K, si T est

négative, la somme T~h f Kwdx serait positive dans

le premier cas, négative dans le second, au lieu d'être nulle. 11 faut donc qu'on ait K = o, d'où résulte aussi T=o.