APPROXIMATION DES ARCS DE COURBE

7. Soient AB un arc convexe, 0 un point pris dans la concavité de cette courbe, rs V angle des normales extrêmes, en désignant par p§, Pi, p3, • • • i p„, les rayons de courbure qui font avec la nor-

maie au point k les angles o, — j — > j • • • » on aura

r ° in 'in in

AB > a ip. + fr + fr + ---+iP»,

ABQpl'l~fr~!~---l"p"-,

d*o si d'ailleurs -j-\ est négatif pour les valeurs de o> comprises entre

o et o.

Ces deux inégalités résultent de ce que / pda peut être considéré comme Taire d'une courbe convexe dont p et » seraient les coordonnées rectangulaires.

8. Si O est le point de concours des normales extrêmes, et p9% /?,,/?,, , p^ les perpendiculaires abaissées sur les côtés d'un polygone équiangle circonscrit à la courbe AB, on aura

AB^lima^^^^^-^-^pour/t^oo,

AB = lira zx û±û±---n±j&fi=i pour ai = « .

KOTE V.

9. Soit CD une droite partagée au point E en deux segmrnts9 CE = a, CD = b. Si Von partage en in parties égales la demi" circonférence décrite sur CD comme diamètre et que l'on désigne fiar PvPk , . . . , p^ les droites menées du point E aux divers points de division, le périmètre de l'ellipse ayant %a etib pour axes sera compris entre deux circonférences ayant pour rayons : la première

// et la seconde

Le théorème aurait encore lieu si le point E était pris sur le prolongement de CD et que l'on eût encore EC = a, ED = b.

10. La moyenne des distances d'un point pris dans le plan d'un cercle, aux sommets d'un polygone régulier d'une infinité de côtés inscrits dans le cercle, est égale au périmètre d'une ellipse ayant pour demi-axes la plus grande et la plus courte distance du point à la circonférence, divisé par air. — Cas où le point est pris sur la circonférence.

Conséquence de (9).

\\. Le périmètre d'une ellipse ayant pour axes a a et a 6, a > b, étant désigné par E, on a

E>aff£, E<U7r0

Ii>a7T —t . E<aw-! — 9

Conséquence de (9).