FORMULE POUR LA RECTIFICATION DES ARCS DE COURBE PLANE

i. Soient AB une courbe plane, 0 un point pris dans son plan, OP une perpendiculaire à la tangente menée à la courbe AB par un de ses points M : La normale à la courbe, lieu des points P, s'obtient enjoignant le point P au milieu de la droite OM.

2. Si l'on désigne par p la perpendiculaire OP et par *> l'angle que cette droite fait avec un axe fixe, on aura

(loi

Cela résulte de ce que PM est égale à la sous-normale de la podaire (c'est ainsi qu'on nomme le lieu des points P), quand on considère/? et » comme des coordonnées polaires.

3. Si du point 0 on abaisse une perpendiculaire OQ sur la normale CM à la courbe AB, C étant le centre de courbure, on aura

dùiÀ

car le point Q appartient à la podaire de la développée de la courbe AB.

4. Si l'on désigne l'arc AB par s, et par a et p les angles que les normales aux points A et h font avec un axe fixe, on aura

En effet, p étant le rayon de courbure, on a

~L ?d*=L ***<*»**= fm (>+&)'*

S. Quand le point 0 est le point de concours des normales extrêmes et plus généralement quand les extrémités de l'arc AB sont égale-

38o cours d'analyse.

ment distantes des points correspondants de la podairc, on a

(II) s = j pdu.

Conséquence de (a) et de (4).