Équations aux différentielles totales. — L'équation

Xdx-hYdf-\-Zdz = o

ne peut donner, pour Tune des variables x, j, zy une valeur qui soit une fonction bien déterminée des deux autres que si l'on a identiquement

X/'--— — \ ïY-Z-— ^ z( — — — \-o \dz dr J \dx dz ) \djr dr : /

657. Pour intégrer l'équation donnée, en regardant, par exemple, z comme fonction de x et de j, on commence par intégrer l'équation

X dx -\- Z dz = o,

en remplaçant la constante d'intégration par une fonction arbitraire de y\ puis on détermine cette fonction par la condition que

dz Y

la valeur de -?- > tirée de l'intégrale obtenue, soit égale à — ,. ;

l'intégrale définitive renferme une constante arbitraire.

658-659. Quand l'équation proposée donne pour z une valeur bien définie, il existe au moins un facteur d'intégrabilité. — Exemple.

660. Équations du second ordre, non linéaires. — Le cas de deux variables indépendantes peut être traité par une méthode particulière très simple. A l'équation proposée

on adjoint une des intégrales du système

dx dr dz — dp — dq

dp dq 'dp ' dq dx ^ dz dj ' dz

pour déterminer/? et q, ce qui permet de former

dz = P dx -+■ Q dr.

L'intégrale de cette équation est de la forme (0 F(.r,j,z, a, b) = o,

a et b étant deux constantes.

661. L'équation (i) est une intégrale complète de la proposée; son intégrale générale résulte de l'élimination de a entre

L'équation (i) conduit aussi à une intégrale singulière.