Application au paraboloïde elliptique
•au -ib
x = o, jr= zh\/ù{a — b), z= •
Il existe deux ombilics situés dans le plan yOz,
suite de là courbure des surfaces.
708. Sur la surface dont tous les points scnt des ombilics. — La sphère est la seule surface dont tous les points soient des ombilics,
709 et 710. Théorie de l'indicatrice. — Si Ton coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin de ce plan, la section obtenue sera une courbe infiniment petite et du deuxième degré, en négligeant des quantités infiniment petites par rapport à ses dimensions.
711. Les rayons de courbure des différentes sections normales faites au point O sont proportionnels aux carrés des rayons de cette courbe, qui est nommée V indicatrice de la surface en ce point.
712. Quand l'intersection de la surface par un plan parallèle au plan langent, et infiniment voisin, est une hyperbole, l'indicatrice ^ compose de deux hyperboles conjuguées. Le rayon de courbure de la surface devient infini et change de signe quand le plan sécant, en tournant autour de la normale, vient passer par une asymptote commune aux deux hyperboles.
713. Conséquences géométriques. — A toute propriété des diamètres d'une section conique, correspond une propriété des rayons de courbure des sections normales qui passent par les diamètres de l'indicatrice.
714. Quand l'indicatrice est un cercle, le point considéré est lin ombilic. Cela arrive sur les surfaces du second ordre aux points où le plan tangent est parallèle aux sections circulaires.
715. Cas ou l'expression du rayon de courbure se présente sous une forme illusoire.
71 g. définition des tangentes conjuguées.
Relation qui doit exister entre les coefficients angulaires de deux tangentes conjuguées, quand on prend pour axes la normale et les intersections du plan tangent avec les plans principaux :
, r mm = •
717. Deux tangentes conjuguées sont parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice.
La somme algébrique des rayons de courbure correspondant à deux tangentes conjuguées est constante.
SUITE DE LA COURBURE DES SURFACES
718 et 719. Lignes de courbure.
On nomme ligne de courbure le lieu des points d'une surface pour lesquels les normales infiniment voisines se rencontrent consécutivement. En chaque point d'une surface il passe deux lignes de courbure déterminées par l'équation différentielle
[(i+^-wo(2y+[(i+^)^(n-^)o(^
+ [pqr— (i4- />')*] =o et par l'équation de la surface.
