TZ

dv = — e w dz :

CD

il en résulte

r — *m/7CZ

Ct)

Imi'lT» „ 2m/lts

Pour éviter les confusions, il est convenable de remplacer, dans l'intégrale définie, z par une autre variable, a par exemple; il

sera alors permis de faire entrer sous le signe / l'exponentielle

qui multiplie l'intégrale et qui est une constante relativement à a : il viendra

Si l'on réunit deux à deux les termes dans lesquels m a des

valeurs égales et de signes contraires, et si Ton met à part le terme correspondant à m — o, on aura

/(o- 1 jf/M*-. j f jf^)-22—^*-

Telle est la formule de Fourier, qu'on peut mettre sous une forme un peu différente en développant le cosinus de la différence des deux arcs qui figurent dans chacune des intégrales.

51*. Supposons que u> soit réel et qu'on ne donne à z que des valeurs réelles x; les intégrales qui figurent dans l'équation (i) seront prises en faisant varier a depuis une valeur a0 quelconque jusqu'à a0 -t-c*>; si, de plus, on dédouble les cosinus comme il vient d'être dit, on pourra écrire

(2) ( -+-->cos / /(a)cos d%

' \ eu Ad. a) /„ y ' tu

f /ia)«n<fa.

Fourier a voulu appliquer cette formule à une fonction quelconque de .r, pourvu qu'elle fût finie et bien déterminée, mais sans l'astreindre à être continue et périodique : l'analyse précédente n'est plus applicable, et il est clair, d'ailleurs, que le second membre de l'équation (2) ne peut représenter qu'une fonction périodique de x; il est nécessaire de chercher ce qu'il représente effectivement : Dirichlet a montré que c'est une fonction qui coïncide avec f{x) pour les valeurs de x comprises entre oto ©t oo -+• <*>, mais qui, en dehors de cet intervalle, se reproduit périodiquement. Je ne crois pas devoir traiter ici cette question, et je me bornerai à citer un exemple, pour fixer les idées : soient f(x) = x, o> = arc, oq = — 7c. Les intégrales qui entrent dans l'équation (2) sont

/ xdx = o, I xsmmxdx = (— i)m+i — »

x cosmx dx = o;

le second membre de l'équation devient

(3) ¥(x) = alsinx sin2.r + ^sin3.r — Tsin4-r-H.

La ligne définie par l'équation y = F (a:) coïncide avec la portion M'M de la bissectrice de l'angle YOX qui est comprise entre

les droites * = — itet4r = it; pour x = (am -+- i)it, la ligne est discontinue et, en définitive, elle est formée d'une infinité de segments rectilignes égaux et parallèles à M'M, comme l'indique la figure.

Pour x = -i l'équation (3) donne une identité connue

ir il i

En faisant x = 7 > on aurait l'égalité assez remarquable

TZ f Illf I \ i/ï «