SÉRIE OE FOUR 1ER

50*. Soit <i> une quantité de la forme pe*1; elle peut être représentée par un segment rectiligne P, de longueur p, ayant pour origine un point quelconque et faisant l'angle 0 avec Taxe des x. Je dis que toute fonction u = f(z) qui admet pour période ta, qui est continue et monodrome pour les valeurs de z comprises entre deux droites indéfinies L, L' parallèles à P, est développable en une série trigonométrique dont les divers termes ont pour coefficients des intégrales définies.

Posons v = e w : aux divers points d'une parallèle à P, les valeurs de z sont de la forme z0-h tu, z0 étant Tune d'entre elles et t un coefficient réel quelconque; les valeurs correspondantes de e ont des modules égaux, mais leurs arguments contiennent la quantité variable 211;; c'est dire que les affixes de v ont pour lieu une circonférence ayant son centre à l'origine; si le point z décrit un segment égal à co, t variant de o à 1, le point v décrira précisément une circonférence. Aux droites L, L' correspondent deux circonférences C, G', concentriques à l'origine; à chaque valeur de z prise dans la bande LL' répond une valeur de e dont l'affixe est

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dans la couronne limitée par les circonférences C et C; si z est en dehors de LL', v sera en dehors de la couronne CC.

La fonction u, qui dépend de z, peut être regardée comme une fonction ?(?); je dis que cette fonction est monodrome pour les valeurs de v comprises dans la couronne CC. On voit, en effet, qu'à une valeur donnée de v correspondent une infinité de valeurs de s, mais que ces valeurs diffèrent les unes des autres de multiples de u>; or, par hypothèse, /(z-h/wid) n'a qu'une valeur, quel que soit l'entier m, tant que z est compris dans la bande IX': donc, à la valeur donnée de v dans la couronne CC, correspond une seule valeur de u\ <p(p) est donc monodrome dans la môme région; elle y est aussi continue au même titre que f(z) l'est entre les droites L et L'; donc <p(p) peut se développer par la formule de Laurent en une série de la forme

W»:r:oo

(")= 2 A*l'w' Am= ^TiJ^^

çM+ 1 l» = — •

l'intégrale étant prise le long d'une circonférence concentrique aux circonférences C et G' et comprise entre elles.

Mais aux points de cette circonférence on peut faire correspondre des valeurs de z dont les affixes décriront une droite u» située entre L et L' ; on a

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