DES INTÉGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES

La fonction f(z) de la variable imaginaire

z = x-+-jr y/ — i

(*) Voir l'Ouvrage de Mourey sur La vraie théorie des quantités prétendues imaginaires ; sur le Calcul des équipollences (Nouvelles Annales^ 2e série, t. Vlll, 1869); mon Traité. d'Algèbre; l'Ouvrage de MM. Briot ci Bouquet déjà cité, etc.

( 47« ) est eu réalité une fonction de deux variables, et si, entre x èljr, on établit une relation, telle que

/'(s) devient alors fonction de la seule variable t. Si Ton pose alors

*0 = x, -4- y. VCri» Z=:X^Yv/^7,

l'intégrale

JXS-SH*

aura une valeur bien déterminée. On représente souvent cette intégrale par le symbole

qui, comme Ton voit, est indéterminé si Ton ne dit pas de quelle façon x etjr sont liés entre eux ou à t. Cette expression est ce que Ton appelle une intégrale prise entre des limites imaginaires ; pour en préciser le sens, on ajoute la relation qui lie x à yy soit directement, soit par l'intermédiaire de la variable auxiliaire t.

Le plus souvent on emploie, pour fixer le sens de la

notation I f (z) dz, un langage géométrique, et, au lieu

de se donner les relations x = <y (t ) , y = ty (t ), on indique la nature de la courbe représentée par ces équations. Si, par exemple, on posait

jp = cosf, jf = sin t ,

on aurait x*-+- y%=- 1» et si Ton intégrait par rapport à t de zéro à ir, on dirait que Ton prend l'intégrale le long

d'un demi -cercle de rayon un, décrit de l'origine comme centre et limité à l'axe des x.

Réciproquement, quand on se donne le contour d'intégration, on ramène facilement l'intégrale à une ou plusieurs autres prises entre des limites réelles. Supposons, par exemple, que Ton demande d'intégrer f (z)dz le long d'une droite inclinée a 45 degrés sur Taxe des x, isâue de l'origine et aboutissant & un point situé à la distance / de l'origine.

Les éouatiensde cette ligne seront

v/2 yfi

on aura

xz=t — , jr = t — -,

dxz=dt^—y drr^dt—y et, par suite,

Je prends pour limites o et /, parce que t représente la distance du point (x, y) à l'origine*, cette distance est o ou/, selon que le point (x,y) est à l'origine ou à l'extrémité de la droite.

Théorème deCaucfiy. — Le point z variant à V inté rieur d'un contour donné, si, à l'intérieur de ce contour, la fonction f(z) reste monodrome, monogène et finie,

V intégrale j f(z)dz conservera toujours la même va-

leur^ pourvu que le chemin qui mène de z0 àZ ne sorte pas du contour donné, quel que soit d'ailleurs ce cAemin.

Pour démontrer ce théorème, un des plus féconds de toute l'Analyse, nous intégrerons la fonction f(z) le Ion

(473) de deux contours AMB, ANB. Soient s l'arc du premier contour compté à partir du point A, et ks Parc du second compté toujours à partir du même point A; soient

les équations du premier contour, et

celles du second} et, en désignant par S Tare AMB,

supposons que AS soit Tare ANB. Joignons maintenant les points correspondants des deux contours; soient M et N deux points correspondants, c'est-à-dire tels que AN = AAM, Nous supposerons que la droite MN soit tout entière dans l'intervalle compris entre les deux contours-, considérons maintenant le contour ayant pour équations

Pour a = a1, il se réduira au premier contour AMB, et, pour a = a,, il se réduira au second ANB ; et, de plus, tous ses points seront compris à l'intérieur de l'aire AMBNA, quand on supposera a compris entre ax

et <xt. Intégrons la fonction f(z) le long de ce contour, nous aurons

— ) — restent d'ailleurs finis, ainsi que leurs dérivées

prises par rapport à a. Appelons u cette intégrale, nous aurons

au CS I" *,, \dz Hz ., . d*z 1 ,

a==J. K(l,ïCE+/ïa,îraJ*'

ou, en intégrant le second terme par parties,

Or — est nul pour 5 = o et 5 = S, le contour passant

en A et B pour s = o et s = S quel que soit a, c'est-à-dire

ne dépendant pas alors de a, donc — = o, et, par suite,

u ne dépend pas de a; il a donc la même valeur pour a = at et pour a = a„ c'est-à-dire que l'intégrale prise le long de A MB ou de ANB conserve la même valeur. Cela suppose toutefois que/(z) conserve la même valeur,

(475) quel que soit le contour par leqncl le point z se rend de A en B; f(z) doit donc être monodrome; elle doit aussi Être monogène, car nous avons supposé

^ = />(»l- et ï=/»|,]i,

c'est-à-dire que nous avons admis qaaf{z) restait indépendant de la direction de l'accroissement donné à z. pour en faire le calcul; enfin nos raisonnements supposent^*) elf(z) finis.

Considérons maintenant deux contours quelconques

aboutissant en A et B, et désignons, pour abréger, par (PRQ ...) l'intégrale de/(«) prise le long d'un contour désigné par PRQ .... Le théorème est démontré pour deux contours formant à eux deux un contour fermé convexe, car une sécante joignant deux points correspondants ne rencontre le contour fermé qu'en deux points et reste intérieure à ce contour : il en résulte que l'intégrale prise le long d'un contour fermé convexe quelconque est nulle, car l'intégrale en question est égale à l'intégrale prise le long d'un contour infiniment petit. C'est cette proposition que nous allons d'abord généraliser : considérons le contour AMBN, décomposons-le en une infinité d'autres par des parallèles à une direction donnée, on obtiendra ainsi une série de contours con-

( 476 ) vexes. En vertu de la notation adoptée, on aura alors

(ab) +{bb') +(W) + (fl'fl) = o, (a* V) -f- (b'b*) H- [b"a") -f- (a'V) =o,

si Ton ajoute toutes ces formules, les termes tels que [a'b') et (b'a) se détruisent, et il reste 2(a'a) -f- 2(W) = o, c'est-à-dire que l'intégrale prise le long du contour fermé total est nulle. On a donc

c'est-à-dire

(AMB)-h(BNA) = o,

(AMB) — (ANB) = o,

(AMB) = (ANB).