CAS OU LE THÉORÈME DE CÂUCHY TOMBE EH DÉFAUT

Cauchy a remarqué que son théorème tombait en défaut dès que la fonction f(z) cessait d'être finie, continue, monodrome ou monogène, et il a tiré parti de ces cas pour enrichir la Science d'une de ses plus belles découvertes.

Théorème I. — L'intégrale d'une fonction monodrome, monogène, finie et continue (ou synectique, comme l'appelle Cauchy) à l'intérieur d'un contour fermé, est nulle quand on la prend le long de ce contour.

En effet, elle est égale, comme nous l'avons déjà observé, à l'intégrale prise le long d'un contour quelconque, ayant la même origine et la même extrémité, intérieur à ce contour ; le deuxième contour pouvant être

( 477 ) pris aussi petit que Ton veut, puisque F origine et l'extrémité se touchent, l'intégrale est nulle.

Cauchy appelle résidu de la fonction monodrome, monogène et continue f (z), pour la valeur c qui rend f(z) infinie, l'intégrale

2îT ^ — I

prise le long d'un contour circulaire de rayon infiniment petit, décrit du point c comme centre.

Théorème II. — Soient Rft, R„ . . ., RA les résidus de la fonction f(z) relatifs aux infinis ct, cl9 . . ., cn de cette fonction, contenus à l'intérieur d'un contour fermé où elle reste monodrome et monogène, l'intégrale ff(z) dz prise le long de ce contour sera égale à

(R, -f- Ri -f- ... -h R„) OtirV— 1 .

Supposons qu'il n'y ait que deux infinis dans le contour, et qu'ils soient les centres des cercles bcd9 ghi\ appelons en général (M) l'intégrale de f(z) le long du contour désigné par M.

Le contour abcdaefghifjha constitue un contour fermé ne contenant pas les infinis de/ (z) -, donc (abcdaefghijjka) est nul. Or

(abcdaefghifjha) = (ab) -f- (bcd) -h (da) -h (aef) + (fg)

le premier membre est nul 5 (ab) = — (rfa), car ce sont les mêmes intégrales dont les limites sont inversées-, de même (fg) = — (if) et (Jjka) -h (aef) est l'intégrale proposée^ on a donc

o=[bcd) + (ghi) + ff[*)dz.

(478) Or (bcd) est l'intégrale prise le long d'un contour circulaire très-petit décrit autour d'un infini, z marchant

Fig. 3.

dans le sens rétrograde; cette intégrale est, au facteur

près - — :> le résidu def(z) ; donc

— 27T y — lRi — 2W ^ — l&i -h ff{z)dz,

ou

//(*)A = air^-i(Rl + ll1).