VARIABLES

498. Intégrer une expression différentielle de la forme Mdx + NV/j- -4- Vdz% . . , c'est chercher une fonction de x,j^, s..., dont cette expression soit la différentielle totale. •

Une différentielle relative à une seule variable a toujours une intégrale (I, 320)*, il n'en est pas toujours ainsi d'une fonction différentielle de plusieurs variables, et certaines conditions doivent être remplies pour qu'une telle expression soit la différentielle totale d'une fonction. En effet, si u=f(x,j ), on a

du du

du =z — - dx -h — dy, dx djr

et

f du , du

dx dr

donc, si Mdx H- Nrfy représente la différentielle totale de la fonction u, on aura

du m. du dx dy

et

w dy~~~dx"

L'expression Mdx -f- Nr/y ne pourra donc être intégrée si celle relation n'a pas lieu.

499. Si la condition (I) est remplie, Mdx-\-Ndy sera la différentielle totale d'une fonction u. En d'autres termes, il existera une fonction u telle que Ton ait

du mm du dx dy

En effets cherchons une fonction u telle que Ton ait (i) du = Mdx + Ndy.

La fonction cherchée, devant avoir Mdx pour différentielle par rapport à jr, sera égale à l'intégrale de Mdx augmentée d'une quantité <p (y) indépendante de x, mais fonction dey, u sera donc de la forme

en posant v

« z= / Mdx h- <p(j) = v -h y{y)> = IMdx.

du

Il reste à déterminer <f(y) de manière que — = N.

y Or, on a

du dv dy

<lf ~~ dy dy

d'où

Ûl — x — — .

<<y~~L dy

On voit par la que N ne doit pas contenir x.

On aura donc

OU

dx dx ay dy

On retrouve ainsi la condition

I dJS dM

i dx dy

Si cette condition est remplie, on aura

et, par suite,

(2) u = Cudx + CU-^\ dy.

Exemple :

On a :

dVL lyx cJN

dy ""« { x —y? dx '

Mdx +f[y)=\x+ -£— H- , (jr); '

</«< <fo dy zxy — y7 dy

xJ

dy dy dy {x—yf dy (x— y)2 y' -1 = 1--, ?=r--|r + C;