Soit

c'est-à-dire

du mm du __ du ^ - = M, Ç = H, ^ = P;

on aura

. du du %du %du ,du cfa

d — d — d — d — d — d — dx dy dx dz dy dz

dy dx dz dx dz dy

QUARANTIEME LEÇON. 4*

ou bien

* ' dy dx di dx dz dy

Telles sont les conditions nécessaires pour que la formule proposée soit intégrablc.

501. Réciproquement, si ces conditions sont remplies, la formule proposée est intégrable. En effet, cherchons une fonction u telle que

(i) du = Mdx + Tidy 4- P<fe.

Puisque la différentielle de u, par rapport à x, doit être M/£r, on aura

«=' jMdx:-i-i(y, z) = 9 -4- y (y, z),

en posant v= I Nldx.

Maintenant il faudra que Ton ait

c'est-à-dire

ou bien

du du ^

dp d* d» d<p ^

dy *dy dz dz

«7" 07- as ttz

Or, — ï- et -~ ne doivent contenir que / et «, par hypothèse ; donc on aura

aU dx

ou

4a cours d'analyse.

En outre, la fonction cf doit satisfaire à la condition

dd-i dd-i

€iy dz

dz ~~ dy '

on aura donc

/ <h\ { dv

dz dy

OU

rfN d P

dz dy

Si les trois conditions (a) et (3) sont remplies, il exis tera (499) une fonction <p dejr et de z telle, que

et l'on aura

502. La méthode précédente s'étend à un nombre quelconque de variables. En général, — ■ ■ est le nombre

des conditions nécessaires et suffisantes pour l'intégra-

bililé d'une formule, n étant le nombre des variables.