HT

l2' \ ï^Eïr 'i/— i

e' (x + a K' v/-7) = - ©'(x) « *~Kx+1L V~l)

Or les deux fonctions H(x) et 0(x) possèdent la période 4K ; il en est donc de même de H'(x) 0 (x) — 0'(x) H(x),

et, quand on y change x en x-f- aK\/ — i, en vertu de (a), cette fonction devient

en d'autres termes, elle s'est trouvée multipliée par

Or les fonctions 0(x)H(x) et 0,(x)Ht(x) sont dans ce cas; on doit donc poser

(3) B'(x)e(x) — H(*)e'(*) = Ae(«) H(x) + Be,(x)H,(.r),

ou, en divisant par 0* et en tenant compte de (i),

rfx e(x) e(.r) e(x) Mais, si, dans (3), on change x en — x, on a H'(x) 9 (x).— H (x) e'(x) = — À0 (x) H (x) -f- Be, (*) Hi (x), et, en comparant cette formule avec (3), on a

donc

dx e e

Si, dans (3), on fait x== o, on a

H'(o)e(o)=Be,(o)H,(o).

Tirant 8 de là, la formule précédente donne

dy H'(o)e(o) e,(x)H,(x)B

Entre cette formule et les formules (i) et (a) du paragraphe précédent, éliminons 0i(x) et Hj(x); nous

( 554 ) aurons

H*(o)r eî(o) -ir h;(o) i

~0'(o)L HUojrJL e;(o)' J

4ry__H"(o)

Cette équation serait identique à celle qui nous a servi primitivement à définir le sinus de l'amplitude x% si Ton supposait

e,(o) 0,(o) H(x) i Hf*)

,e,(o)H'(o) taj « H.Cojëw"-1'

h;(o) eï(o)-*'

et Ton aurait

(dsnx\7 , , , . ,

——1 r=(i — sn'.r)(i — ^sn'jr).

On a donc bien

H (or) 0,(o) sn-r =

et il est nettement établi que la fonction snx est monodrome, puisqu'on peut la former de toutes pièces en la considérant comme le quotient de deux fonctions monodromes.

Maintenant reprenons les formules (i) et (a) du paragraphe précédent ; on peut les écrire, en divisant par

La première, en vertu de (5), sera satisfaite en posant

— *— r — ^t-4 = cosamx = cm:,

eKx) H,(xj