Éliminer le paramètre a de l'équation

(ia — x)y*= x*\

trajectoires orthogonales des courbes représentées par cette équation.

33. Trouver une courbe plane telle que sa courbure en un point quelconque soit dans un rapport constant avec la courbure que présente au point correspondant la transformée de la courbe cherchée par rayons vecteurs réciproques, le centre et le module d'inversion étant donnés.

34. Trajectoires orthogonales des courbes définies par l'équation

( jc* -*-/*)1 zh c*xy = o.

35. Trajectoires orthogonales des courbes définies par l'équation

, 17tan£0 r3= axl — — > tanga

a étant un paramètre variable. Chercher si Faire comprise entre l'une des courbes proposées et les rayons vecteurs correspondant

àô = aetà6= -a une valeur finie.

36. Trouver et construire une courbe plane telle que le triangle ayant pour base l'ordonnée d'un point quelconque de la courbe et pour sommet le centre de courbure correspondant ait une aire constante.

37. Déterminer et construire une courbe plane telle que le triangle qui a pour côtés la tangente et la normale en un point de la courbe, ainsi que la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur du même point, présente une aire constante.

38. Trouver une courbe plane telle que, dans le quadrilatère formé par les axes coordonnés (toujours rectangulaires), la tangente et la normale en un point de la courbe, les diagonales se coupent sous un angle constant.

39. Trouver une courbe plane telle que la droite menée, dans une direction donnée, depuis le centre du cercle osculateur à la courbe en un point M jusqu'à la tangente en M ait une longueur constante.

40. Trouver une courbe plane telle que le centre du cercle osculateur en l'un de ses points M se projette sur le rayon vecteur OM en un point symétrique de M par rapport au pôle 0.

41. Trouver une courbe plane telle que la distance/? du pôle à la tangente en un de ses points M soit une fonction donnée du rayon vecteur r de ce point; cas où cette fonction est de la

forme Àr, ou — > ou \Jar> ou — • a r

42. Lieu des centres de courbure principaux : i° d'un ellipsoïde, aux divers points d'une de ses sections principales, i° d'un

paraboloïde équilatère, aux divers points de l'une des génératrices qui passent au sommet.

43. Déterminer, sur un paraboloïde elliptique, le lieu des points où la normale fait un angle donné avec Taxe de la surface : aire de la partie du paraboloïde comprise à l'intérieur de ce lieu.