Exemples. — i
xiif — ydx = dx /?+7'
Cette équation est homogène et du premier degré. En appliquant la méthode précédente, on la ramène d'abord à
tir dz
yi-hï"
d'où Ton tire, en intégrant,
\x = \c {z -+- y7! -\-zl\
ou
z-hiji-t-z* ce qui donne, en remplaçant z par -? et en faisant dispa-
raître le radical,
x1 = 2 cy H- ca.
On parvient à l'équation différentielle (i) quand on ré- Fig. 106. soul ce problème : Trouver une
courbe MNP telle, que le rayon vecteur OM soit égal au segment OT compris entre V origine et le point oh la tangente MT rencontre Vaxe des y. D'après l'équation (2), celte propriété appartient à toutes les paraboles qui ont pour axe la
droite Ojr et pour foyer le point O.
xdx -t-jrdjr = znjrdx.
On trouve
It=
zdz
inz
ou
la: -+- - 1 (i — inz -4- z7) -+- I = C.
Quand n = i, on arrive à l'équation intégrale
(x—y)ex-'=C.
En différcn liant, on a
3y7xdy — Y*ar
Jdx=. — -- ,
équation homogène dont l'intégrale est
On a
/*+ f {JL±1!*± =Cf
et l'intégration peut toujours s'achever.
ÉQUATIONS QUE l'on PEUT RENDRE HOMOGENES.
508. On peut quelquefois rendre homogène une équation qui ne présente pas ce caractère. C'est ce qui arrive pour T équation
(i) (a -+- mx -+- ny) dx H- (b -+- px -h qy) dy = o.
En posant
x = x' + a9 jr=y'-+-%, on a
(fl+wa -+- «6 -\-mx'-\- ny')dx'-h(b -\-pz ■+- q% -\-p.r'-\- qy') dy'.
Il suffira, pour rendre cette équation homogène, de
poser
b ■+- P&-+- q& = oj
d'où l'on tire
bn — aq eip — bm
mq — np mq — np
et il restera l'équation
(a) (/wx'-f- ny') dx> -h [px' -4- qyr) dy'.- o.
5(>9. Cette transformation est impossible si mq — np=o. Dans ce cas, onaç=— , et l'équation (i) devient
m (a + WJ+ /ij) tf.r-4-[/7?£ H- (mx -4- «j)/>]<(r = 0.
On pose
jwj: -+- ny = 2,
d'où
il en résulte
/w [a -4- *)dlr -f- (g/w -\-p*) = 0
et
( bm -4- pz)dz
(3) mdx=z - — x- '—L r-,
* ' bm — an -+- (p — n ) z
équation où les variables sont séparées.
Si, en môme temps que mq — np == o, on a q = o, il faut que n ou p = o, et les variables se séparent immédiatement.
