Trouver le facteur rl'intégrabUité de l'équation

(l — x*y) dx 4- r* ( y — x) dy — o .

Solution : -=•

Or, ^ =?(*), dp =t(jr)i donc

$-£-«îM-M»(,).

Si cette condition est remplie, on aura

X = /fW&, Y = eS^)dr%

537. L'emploi du facteur f donne les méthodes précédemment exposées : ainsi, la séparation des variables

dans l'équation

XY£/x + X,Y,û[r = o,

où X et Xi désignent des fonctions de x, et Y, Yt des fonctions de jr, revient à multiplier l'équation proposée

par le facteur ^-=-

La transformation employée dans l'intégration de l'équation homogène revient aussi à la détermination d'un facteur qui rend le premier membre intégrable. En effet, l'équation (3) du n° 506 n'est autre chose que l'équation proposée divisée par xm+1 [q> (z) -f- zty («)]. En remplaçant z par -> xm<p ( - } par M, xmty f - } par N, on voit que le facteur v est, dans ce cas,

M-r -+- Ry

Il est d'ailleurs facile de vérifier que — ^ — est

alors une différentielle exacte. Il suffit, pour cela, de démontrer que

dy de

Celte équation revient, après quelques transformations,

à la suivante :

r/N dX\

dx *~y dy)

OO

NMni — NM/w = o,

car les fonctions M et N étant homogènes et de degré m, on a identiquement (1, 178)

dM dM „ r/N <*N „

Si le premier membre de 1 équation homogène est déjà une différentielle exacte, on pourra prendre pour premier

facteur i , et pour second — — • Leur rapport, égalé

à une constante, donnera l'intégrale qui sera, par conséquent,

Mx -h Nj = c.

EXERCICES

i . aydx 4- bxdy -f- x^y" {cydx -+- exdy) = o.

Solution : Le premier binôme devient intégrable lorsqu'on le

multiplie par **-'/*-' *(**/*)» et le second par J „ ^{afy').

xry

On peut déterminer bs fonctions ?et ^ de telle sorte que ces deux

facteurs soient éga x.