DÉTERMINATION DU FACTEUR U

536. La condition nécessaire et suffisante pour que u (Mdx H- Nrfy ) soit une différentielle exacle est

d.pM d. pN dy ~~~dx7

ce qui revient à l'équation

Quoique cette équation soit en général aussi difficile à résoudre que la proposée, elle peut cependant, dans quelques cas, servir à trouver le facteur v :

i° Si v ne doit dépendre que d une seule variable, x par exemple, on a — = o, et l'équation (1) se réduit à

dM dis 1 dv dy dx

p dx N

Par hypothèse, le premier membre ne dépend que de x 5

donc, on doit avoir

dM dK

Cette condition est suffisante 5 car si elle est remplie, on satisfera à l'équation (a) en prenant

Le calcul est plus simple si Ton suppose N = 1, c'està-dire si Ton met l'équation proposée sous la forme dy -f- Mir = o, ce qui est permis. On a, dans ce cas,

d'où

M = Pr-+-Q-

L'équation proposée devient

Il suffit donc, pour rendre différentielle exacte le premier membre de cette équation, de le multiplier par eiVdz. On a

dx

d'où (499)

ePixy + Tq esvds dx — C.

C'est le cas de l'équation linéaire (511 ).

20 Si le facteur v est de la forme XY, X étant une fonction de x, et Y une fonction de y, on a

— — Y— —-TC — dx dx dy djr

et l'équation (1) revient à

dX dY dM dm \dx Ydj' dy dx

0r' ïïâ; = ? (*)' Yâp = + W ; donc

Si cette condition est remplie, on aura

537. L'emploi du facteur f donne les méthodes précédemment exposées : ainsi, la séparation des variables dans l'équation

XY^-f-X,Y,<r=o»

où X et Xt désignent des fonctions de x, et Y, Y, de* fonctions de y, revient à multiplier l'équation proposée

par le facteur ^-=-

La transformation employée dans l'intégration de l'équation homogène revient aussi à la détermination d'un facteur qui rend le premier membre intégrable. En effet, l'équation (3) du n° 506 n'est autre chose que l'équation proposée divisée par xm+1 [9 (z) 4- zty (*)]• En remplaçant z par -> xm<f l - } par M, xmty ( - ) par N, on voit que le facteur v est, dans ce cas,

M-r -+- Ry

Il est d'ailleurs facile de vérifier que — = — «***

alors une différentielle exacte. Il suffit, pour cela, de démontrer que

Mx + N/ M-r-t-N/

dy dr

Celte équation revient, après quelques transformations,

à la suivante :

dx + ,r dy)

on

NM/w — NM/w = o,

car les fonctions M et N étant homogènes et de degré m, on a identiquement (I, 178)

x — hr-r=Mw, X -r l-y—rrm

. dx dy dx dy

Si le premier membre de l'équation homogène est déjà nne différentielle exacte, on pourra prendre pour premier

facteur i , et pour second — — • Leur rapport, égalé

à nne constante, donnera l'intégrale qui sera, par conséquent,

Hx h-Nj = c.

EXERCICES

i . aydx 4- bxdy -f- a?" y* [cydx + exdy) = o.

Solution : Le premier binôme devient intégrable lorsqu'on le

multiplie par x*~lyb~l y {**?*), et Ie second par J H ^(xfy*).

ary

On peut déterminer l.»s fonctions ? et 4» de telle sorte que ces deux

facteurs soient éga x.