Soient (i) Mdx + Xdf=o ou -£=f{xyy
une équation différentielle, et
(2) F(x,jr,c)=o
son intégrale. Différentions cette dernière équation par rapport à x ; nous aurons
(3) dï--dï
Si l'on élimine c entre cette équation et la précédente,
dx
on doit obtenir l'équation (.1), ce qui exige que -7= de-
M vienne identique à —-quand on remplace dans ce quotient c par sa valeur tirée de l'équation (a), et cette élimination conduirait encore à une identité, lors même que c serait une fonction de x et dey.
539. Ce! a. posé, je dis que si Ton connaît l'intégrale F(.r,jr> c) = 0 d'une équation différentielle, on peut déterminer les solutions singulières de cette équation.
Soit
(4) fi*fjr)=o
une solution singulière, c'est-à-dire une équation qui satisfasse à l'équation (i), mais qui ne puisse se déduire de l'intégrale générale en attribuant à la constante une valeur particulière. On peut faire rentrer l'équation <p (x,jr) = o dans cette intégrale, en y remplaçant c par une fonction convenable, car il suffit de poser
d'où l'on déduit la valeur de c en fonction de x et de /. Cette valeur étant déterminée, si l'on diffère ntie l'équation (a) par rapport à x, on aura
dF dF dy dFdc___
dx dy dx de dx '
d'où l'on tire
dF dF
-/,. dy dx de de
1 ' S"""" dF~~ dF'dx'
dy dy
L'élimination de c entre les équations (2) et (6) doit
d'y conduire à l'équation -~- =f(x9 y). Donc l'équation (6)
dF
se réduit à ■£ =f(x>y). Or, — -^ se réduit à/(ar, j)
dy quand on remplace c par sa valeur tirée de l'équation
F (x,jTj c) = o (538) ; donc on doit avoir
dF
de de
équation à laquelle il faut joindre F [x,y, c) = o.
Le système de ces deux équations se ramène aux deux
suivants :
Idc I de
dï = °' (II) <^F = °'
F(*,/, «0=o, dr
Or, le premier système donne c = une constante, et, par suite, on retombe sur l'intégrale générale. Le second se partage en deux :
rf^"-0' (IV) ) dy ~00'
F(-*, y,c) — o, ( Y(x9jr, c) = o.
En éliminant c entre les deux équations de chacun de ces
deux derniers systèmes, on obtiendra les solutions sin-
gulières de l'équation proposée, pourvu qu'on omette les
valeurs de c qui rendent simultanément nulles, ou infi-
d¥ d¥ nies, les deux fonctions — » — » parce que la première
des équations (II) se présenterait sous la forme illusoire
- = o, ou — = o : il faudra aussi rejeter les solutions qui o oo
rentreraient dans l'intégrale générale en attribuant à c
une valeur constante.
Ainsi, on obtiendra les solutions singulières d'une
équation différentielle du premier ordre en éliminant
la constante entre V intégrale générale et sa dérivée par
rapport à la constante, égalée à zéro, ou bien entre cette
même intégrale et sa dérivée par rapport à y9 égalée à
t infini.
540. Quelle que soit la forme sous laquelle se présente l'équation intégrale F(x, y9 c) = o, l'application des règles précédentes doit toujours conduire aux mêmes
"de solutions. En effel, le rapport — restera toujours le même
quand on éliminera c au moyen de l'équation F = o, quoique chacune de ces dérivées change quand on transforme cette équation. Car en regardant j" comme une
fonction de c, on a
dF
de djr
~~ 5? ~~ de '
valeur qui sera toujours la même, quel que soit F. Ainsi, lorsqu'une transformation de l'équation F (-^JS c) = o
fera perdre des solutions à 1 équation — = o, elle les fera
dF acquérir à l'autre équation — = x .
SOLUTIONS SINGULIÈRES DÉDUITES DU FACTEUR QUI REND INTÉG RABLE LE PREMIER MEMBRE DE L* ÉQUATION.
