A SES LIMITES

448. On sait qu'étant donnée une fonction quelconque de x, f{x)i il existe toujours une autre fonction <p(jr) telle, que Ton ait

et que l'intégrale générale def(x) dx est alors représentée par

C éiant une constante arbitraire.

Désignons par u l'intégrale de f(x)dx, prise entre deux limites a et b \ on aura

u = | f(x)dx = y{b) — ?(<*)• Stciui. — w«., IL j

L'intégrale déGnie u ne dépend plus de x9 mais elle est une fonction des limites a et fc, et Ton peut se proposer de la différentier par rapport à Tune ou à l'autre de ces limites. On y parvient aisément sans effectuer l'intégration. En effet, de l'égalité

u = &(b) — f(a)7 on déduit

du u \

du db

et puisque ç' (x) = f(x)i

449. Si a et i sont des fonctions d'une certaine variable £, indépendante de x, en désignant par du la différentielle totale de u considérée comme fonction de la variable indépendante *, on aura (I, 46) [*]

du , du ..

du = -r- da -h -77 d b ,

et, par conséquent,

(a) du= — f{a)da+f(b)db.

On obtiendra i/u en fonction de £ en remplaçant dans cette formule a, £, <&z, rfA, par leurs valeurs en fonction de t.

Interprétation géométrique.