TROISIÈME MÉTHODE

991. En substituant er* à y dans le premier membre de l'équation

on a identiquement

dm f** dm"1 e** de™

Dîfférenliant par rapport à r, on aura puis,

\ ^ +p /JM + ..■-*• u g™ *»

/3\ J or" dxm"'x

( =«»l/'(r) + ax/'(r)+«»/(r)]f

et ainsi de suite.

L'équation (i) montre que Ton satisfera à l'équation différentielle (II) en posant y = er'*, i\ étant une des racines de l'équation /(/*) = o.

Si rx est racine double, on aj^r,) = o, et la relation (2) montre que Ton peut prendre^ — e'i'x, ce qui avec er»x fait deux solutions.

Si i\ est racine triple, outre les deux solutions distinctes déjà obtenues, on déduira de l'équation (3) la solution y = er*x x%) et ainsi de suite.

Donc, à chaque racine multiple correspondra un nombre de solutions égal à son degré de multiplicité. En multipliant toutes ces solutions par des constantes, et les ajoutant, on aura l'intégrale générale.

EXERCICES

diny

Solution

dxtn

y = Cex-+-C'e-* X e n Ga-cos( J7sin— ' ) -hC* sin(.r sin— )

o dnY

Solution :

y = C -+- Ci x -h C2r2-h. . . -+- Cn-iar»-1. d*Y 0 d* y

Solution :

y = (r -+-C|.r)coS2.r-!-(c, + c3x) sïnix.