Revenons à l'équation

dm y dm~x Y ^ rf'H—iy dy

Remplaçons j- par ne. L'équation, ordonnée par rapport à la fonction u et à ses dérivées, deviendra

d*p dm-ltr ^ d*-*» m dv „ \

ix* djf*~x dx™-* dx

1 p dm"~tQ dm~*v ~\d*n 1 m fut — 1)- r-hf/it — i)(/ii — 2)P -K..-4-i.2.Sp I— 5

ii6 cours d'analyse.

ou bien

(2) Van -4-V, — H — - H 1 ^ — - =0,

dx 1.2 oor2 e . 2 . 3 . . . m €taf

cd posant

dmv ^dm"xQ ^dm-2v dv

*&"■ «ilr-*— » x dx"1-2 dx

V, = /w h (m — i)P- H- (» — 2)0- -+-. ..4-Tr,

, d"*—^ç dm~~*v Y, = m(m — 1) ■- -\-(m — \)(m — 2) P -- h...-4~i*2.S<*,

Le développement (2) est analogue à celui d'une fonction de x dans laquelle on remplace x par x-\-h\ car on voit que les polynômes V0, Vn V,,. . ., Vm se déduisent du polynôme

et de ses dérivées, en remplaçant fm, y"1""1, . . . , m, y0 par

rfmp d™—*? dp

dx~™ dx1^1' " ' " '' di' V'

590. Maintenant, si l'on pose r = erx, et que l'on supprime le facteur commun e™", l'équation (2) prendra la forme

/o\ xr \ j>,i ydu d*u dmu

f{r) désignant, comme plus haut, le polynôme

r" + P/*" '-^-Qr—'-f-.. .-f-Tr + U.

De là résultent les conséquences suivantes: i° Si Ti est racine simple de l'équation

on satisfera à l'équation (3) en faisant

r=rl9 « = <:,,

c, désignant une constante*, d'où y = c,er,x.

Donc, si toutes les racines sont inégales, on aura m in-

tégrales particulières contenant chacune une constante arbitraire, et dont la somme formera l'intégrale générale. a° Si r, est une racine double, f(i\)<, ff[r\) seront nulles, et Ton satisfera à l'équation (3) en posant

d*u r=rl9

d'où

u = c -\- c* x, y— <f**{c-\- cfx).

3° Si rx est racine triple, f{rx), ./'(r,), fn(rt) seront nulles, et Ton satisfera à l'équation en faisant

d'où

=1 cr*x (c -\- c' x -\- c"x7),

et ainsi

de

suite.