AV + BU

où A et B sont des fonctions entières. Or le dernier de ces restes est, dans l'hypothèse admise, une simple constante, ce qui démontre et donne le moyen de former la relation annoncée.

Cela posé, soit

nous pouvons écrire

puis, en mulliplianl par F,(;r), el faisant Sf^ = AFi{x),

F.(^) .X. BF.(.r)

Maintenant il est clair qu'en opérant sur la fraction

BF.(.r)

pp+l Q</+l ^ gi+1

comme sur la proposée, on la décomposera pareillement en un terme p— :j et une nouvelle fraction dont le dénominateur

ne renferniera que les facteurs de F(^) autres que N"+' et Vp-*-'. Continuant donc les mêmes opérations jusqu'à l'épuisement complet de ces facteurs, on réalisera ainsi la décompo-

sition que nous voulions obtenir de ^; ; sous la forme

On en tire

f F.(jr) , r^^, c ^ , r s /

j F(7)^^"=JN^^^"^JP^''"-^ •••-^JS^^'^'

les intégrations portant, comme on voit, sur des expressions toutes semblables, qu'on traite de la manière suivante.

IV. J'observe que N, n'ayant pas de facteurs multiples, est premier avec la dérivée N'; de sorte qu'on pourra déterminer deux polynômes A el B remplissant la condition

BN-N'A = i.

Cela étant, nous formerons deux séries de fonctions entières

a/G,, aKjj,.,., i3v)„ )

par ces relations, où K, K,,..., K„., sont des polynômes eniiè-

rement arbitraires, savoir

/zV„= A3Î,-NK, («i)V, = ADL,-NK„

(,,2)V,= A0î,,-NK„

V„, = Aé>r,„,-NK„„ puis, en second lieu,