INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

Soient F(a:) et ¥>{x) deux polynômes entiers; en posant, pour mettre en évidence l'ordre de multiplicité des divers fscteurs

F (.r) = (.r - «)«+' (.r - ^')?+' . . . (^ - if^',

et admettant pour simplifier que le degré du numérateur soit moindre que le degré de ¥{x), la décomposition en fractions simples donne la formule générale

F(x) ~x — « (X — rt)» •■■ (X -«)«+' B B, B^

ou, pour abréger l'écriture (*),

On en déduit immédiatement cette expression de l'intégrale de toute fonction rationnelle

OÙ l'on voit figurer une partie transcendante et une partie algébrique qui donnent lieu aux remarques suivantes.

I. Nous observerons d'abord qu'en supposant réels les polynômes F (a:) et F,(x), les racines du dénominateur peuvent être imaginaires, de sorte qu'il est nécessaire de mettre le résultat obtenu sous une forme explicitement réelle. Or on

(*) On supposera que n soit le plus grand des nombres «, /3,..., ^, et qu'on attribue des valeurs nulles à ceux des numérateurs A„, B„,..., L,, dont les indices surpa88«raient respectivement a, /3,..., i.

sait que les racines imaginaires seront conjuguées deux à deux ; de plus, qu'elles seront de même ordre de multiplicité, et qu'en les désignant par a et b les numérateurs des fractions simples correspondantes

[x — bf

seront respectivement exprimés de la même manière en fonction rationnelle de a et b. Ce seront donc aussi des quantités imaginaires conjuguées, et les termes qui en résultent dans la partie algébrique de l'intégrale, à savoir

i [x-bf

donnent, par les réductions ordinaires, une somme réelle. Mais, dans la partie transcendante, il sera nécessaire, pour effectuer celte réduction, d'employer l'expression des logarithmes des quantités imaginaires

log(.r — a — Pv^^) = ilog[(a; — a)^-i- p']-4- arc tang - "7 °^v/~^; et, en faisant

on trouvera facilement

Alog(.r— <7)-f-Blog(^ — b)= Plog[(^ — a)^ + ^=]—2Q arc tang'

Ce résultat peut également s'obtenir par l'intégration directe de la somme des fractions imaginaires conjuguées

P-t-Qy/^ P-Qy/— I aP(^ — g)— 2QP

; — a — p\J—i X — a-i-[By/— I

Ecrivant, en effet,

PREMIERS PRINCIPES. a63

on a d'abord

faisant ensuite x — ix = (32, il viendra

I ; ^-Tï — ^î = / -: = arctangz,

et, par suite,

bfLv , jr — a

î— r^ — T-; = arc tang —7— >

de sorte que nous aurons, comme précédemment,

—Ç^zr^r:^^ '^ "" ^ ^^^ 1^ ^•'' - ^ )' + ^'] - 2 Q arc tang — ^— • II. La formule

|L!£l..=2Alog(x-„,-2,-^„-...-i2^.

montre que le second membre sera simplement algébrique, lorsque les constantes A, B,..., L seront toutes nulles. Ces conditions, qui sont suffisantes, sont évidemment nécessaires; car, si l'on égale pour un instant à une fraction rationnelle la

quantité 1k log{^ — a) = / \ dx, et qu'on prenne la

dérivée de cette fonction rationnelle après l'avoir décomposée en fractions simples, on fera ainsi disparaître toutes les fractions partielles dont les dénominateurs sont du premier

degré. On ne pourra donc reproduire l'expression \ -,

la décomposition en fractions simples n'étant possible que d'une seule manière.

Remarquons aussi que la partie algébrique de rintégrale

est de la forme , .,. ' ^"^ , , j^-, i{x) étant un po-

lynôme entier qu'on peut facilement obtenir, comme on va voir, à l'aide des développements en série suivant les puissances décroissantes de la variable, de l'intégrale et de la partie

iranscendanle. On forme le premier en supposant qu'on ait, parla division algébrique,

F(.r) X x' x' ■"' de là, nous tirons, en effet, en intégrant les deux membres,

dx = M losx -

F(x) *= X -ix^

Quant au second, il suffit d'employer la série élémentaire

X — a X x- X" pour en conclure

Jmâ X — a X x' X

puis, en intégrant,

lk\og{x-a)= 2Alog.r ^i;^"""

Nous obtenons ainsi la relation

^ ' = (2A— w)log,rH

[x — nY[x — b)^...{x-l

Wj — 3 Art

où le terme logarithmique, dans le second membre, doit nécessairement disparaître, un tel lerme ne pouvant provenir du développement d'une fonction rationnelle suivant les puissances descendantes de la variable. Nous avons donc la condition

dont il est souvent fait usage, surtout dans le cas où le degré de F,(.r) étant inférieur de deux unités à celui de F(^), on a

F (x) (*) Les quantités A, B,..., L étant les résidus de la fonction -i- — - correspondant aux diverses racines du dénominateur, la somme 2- A a reçu de Cauchy la dénomination de résidu intégral de cette fonction.

Soil mainlenanl, pour abréger,

le polynôme ^{x), que nous nous proposons de déterminer, sera donné par celle expression

où il est nécessaire que les lermes en nombre infini conlenant x en dénominateur se détruisent, de sorte qu'il suffira d'en extraire la partie entière. Soit, à cet effet,

{.r— aV{x — b)K..(x— lf= x'" -¥ p^x'"-' -\- p^x'"-''-^ . . .-\- p,„; on trouve sur-le-champ

,f (.r)= TT, (.r'«-' +/.. x'»+'+ ... + p„.,)

+ TT, ( j:"-» + /?, x'"-^ -r- . . . -f- p„,;) -h . . . + 7r„,, (x H- /^, ) -+ 7r„, ,

et nous voyons qu'on pourra s'arrêter dans les développements'

de l'intégrale cl de la partie transcendante aux termes en — ^•

Mais nous allons reprendre, par une méthode plus approfondie, celte recherche importante de la partie algébrique de

/F ix) ^.' dx. Nous nous proposons, en effet, de la

déterminer de manière à obtenir la somme effectuée des fractions simples données par la formule générale, de sorte que la connaissance des racines de l'équation F(^)=o ne sera plus nécessaire que pour former la partie transcendante

\ AIog{x — a).

III. Dans ce but, on commencera par mettre le dénominateur au moyen de la théorie des racines égales, sous la forme

N, P, Q, S élant des polynômes tels, que l'équalion

NrQ...S = o

n'ait que des racines simples. Nous remplaçons ensuite la décomposition en fractions simples par celle-ci

où 3^, $, ^,..., S sont des fonctions entières qu'on obtient par la méthode suivante.

Je me fonderai sur le procédé algébrique que je vais rappeler, et par lequel, étant donnés deux polynômes premiers entre eux U et V, on peut en déterminer deux autres A et B,

tels qu'on ait

AV+BU = i,

et, par conséquent,

Effectuons sur U et V la recherche du plus grand commun diviseur de manière à obtenir ces relations, où Q, Q,, Q2,... sont les quotients, et R, R,, R2, ... les restes successifs, savoir

U= VO -t-R, V=RQ. +R,,

Ces valeurs qu'on en lire, savoir

R =u-VQ,

R,-V(i + QO.)-UQ.,

montrent qu'un reste de rang quelconque s'exprime au moyen des polynômes U et V par une combinaison de la forme