V = V,-H NV, ^ N, V -H . . . H- N"-' V,
comme il s'agissait de le démontrer.
J'ai dit que les polynômes K, K,, K„, étaient arbitraires; on pourra donc en disposer de manière que les degrés de V„ V,, .., V„, soient moindres que le degré de N; on pourra aussi les supposer tous nuls, ce qui donne, par exemple,
«(« - i)V, ^ 3Î,A{«B - A') - X'AS
Ces deux suppositions se concilient dans le cas de l'intégrale 7~l — vi+i ' Q^^ j<î choisis comme application de la méthode.
Nous aurons alors
N = x'— I, N'= IX,
puis successivement
in -x
in[in — 2) 2
in -KW - , [-i-n -- \){in - 3)(2// - .')) X
'xn — I
in
•* 'xn['in — 2)
[in — \){'i.n — 3) {"in — 5) in [in — i)[in — 4)
d'où ces valeurs, qu'on retrouvera bienlôt par une autre voie,
" ^ ' in[in—'x)...^.i
V = V„ -+- NV. + N'Y, -f- . . . -f- N"-' V„,
^ f" I in — ïx^—i [in — i){in — "i) [x"^ — i)* in n — 1 in[in — 1) n — 1
^ ' in[in — 2). . .4 J
De l'intégrale
r dx
I. Des notions importantes d'Analyse se rattachent à celle expression, qui va nous servir d'exemple pour l'application des méthodes générales d'intégration des fonctions rationnelles. J'observe d'abord qu'on aura pour la partie transcendante et la partie algébrique ces expressions
Aiog(a:-«) + Blog(^-4-«), J—TZT^'
et que, dans la série
les coefficients w, m,,..., w,„ s'évanouissent. En écrivant, en effet,
la formule de binôme donne
d'où
clx I («-t-lW
La première conséquence à tirer de là, c'est qu'ayant A -+- B = G, la partie transcendante est simplement
Alog^
et la seconde, c'est que le produit du développement en série de l'intégrale par le facteur {x^— a')", ne contenant aucune puissance positive de la variable, le polynôme i{x) se réduit
à la partie entière de l'expression — A log {x^— a')".
Maintenant A est donné par le coefficient de - dans le développement suivant les puissances croissantes de cette quantité, de la Or ayant
tité, de la fraction — > lorsque l'on y a fait x = a-h z.
nous sommes amené à chercher le coefficient de 2" dans le développement de ( 2a 4- 3)~"~'. Partant, à cet effet, de la formule du binôme
Nm ™ 'n ,„ i m { m — i) . . .{ m — n -i- i) ^
il suffira de supposer, dans le terme général,
a — ia, m ~ — n — i ,
pour obtenir la valeur
. (— 1)" {n -f- \)(n ■+■ 1). . .in [la)"'*' 1.1... n '
ou je remarquerai que le facteur numérique
est aussi le coefficient du terme moyen dans le développement de la puissance 2/1 de binôme. On peut donc, d'après la remarque faite (p. 63), lui substituer la quantité 2^a„ en po-
sant
ce qui donnera
CALCCL INTÉGRAL.
Ceci posé, il ne nous reste plus qu'à déterminer la partie rationnelle de l'intégrale, en formant le polynôme ^{x) au moyen des termes entiers en x du produit
Mais le calcul et le résultat sont plus simples, en employant, à la place de la série
a T «•' i fr
celle-ci,
2 ^\x — nj
ta 2 n^ 2.4 «' 2.4-6 «' "1
qu'on démontre facilement en prenant les dérivées des deux membres, et employant cette identité :
d V -r 1 I — 9 /? '>na^
"dx Ux'-<rr\ ^ [x'-a'Y " (^ -«')"-" *
La partie entière qui résulte de la multiplication par(.r' — «')" se présente en efl'et sous la forme
Cl il vient, par suite,
OU, en employant le facteur A sous la forme
art*'+' a.4.6...2/i et renversant l'ordre des termes,
j. xf I aw — !*''—«' (a/i — i)(2/î — 3) (.r*— rt')' 1
^ a|«a' a//«' « — i 2/i(a/j — a)fl* « — a ""J'
c'est précisément le résultat trouvé précédemment, dans le cas de a = i.
r dx II. L'intégrale i 7~r 2 yi-^. peut encore s'obtenir au moyen
d'un changement de variables en posant
Cette substitution donne en effet
I H- r , indy X ~ a —■) dx = }
d'où, par conséquent,
J [x'-a'y-'~{ia)'"-'J
et l'intégration relative à la nouvelle variable s'effectue aisément comme il suit. Soit en désignant, pour abréger, les coefficients numériques par N,, N„ N3, . . . ,
nous écrirons, en rapprochant les termes équidistants des extrêmes et isolant le terme du milieu y",
de sorte qu'il viendra
!'• Parti: l8
2n4 CALCUL INTÉGRAL
et, par suite,
nj-irr/r^i/ r \ N. / I \
j yn-i nY r) n-iY 7"-' y
^ -^^(r"-'-3^)+---+N„iogj.
^ fi
Cette formule doit coïncider, en y remplaçant j par s
avec celle que donne la première méthode, et, en effet, la partie logarithmique est la même, car le coefficient moyen N„ de la puissance (j — i)^" a précisément pour valeur
[n -t-i)(w-f- a)., .-yrt ^ ' 1.1. . .n
Quant à l'égalité des parties rationnelles, elle conduit, en posant
X = a \J — isinf,
y — cosf -t-y/— isincp,
à l'identité suivante :
sin«cp „ sin(/z — il» sin(« — 29) ,
' ~+- W , 1— JN- p . • •
= — i)"-' '-^ coti»
/ . ,, 1 . ,, 2.4 • c. i./i...{in — 1] . ,„ , \
mais, sans m'y arrêter, voici un troisième procédé entièrement différent des précédents, et qui servira de transition pour arriver aux méthodes propres essentiellement à l'intégration des fonctions algébriques.
Soit u = {x''— a^Y, l'exposant m étant quelconque, on aura, en différentiant deux fois de suite,
— -j-^=x[x — a) , im dx
PnEMIERS PRINCIPES. 2^5
Or on peut écrire
J ^' = (x»-«M'"-'-^(2m--2)(.r»-«»-t-«»)(x'-rt*)"'-» lin djc'
= [im - i)(.r»- «')"•-'-+- fl'( 2 /« — 2) (jc^- «')'"-',
de sorte qu'il vient, en multipliant les deux membres par dx et intégrant,
%m dx
— [im — 0 / (•^'— a'')'"-' dx -h n^{im — 1) j {x^— d]""--dx.
Faisons maintenant
m = I — «, et l'on obtiendra
ou bien
— = — (2« — I) / — jj — — 2/îfl' / 7--; j-
et, par conséquent, pour n == i , 2, 3, . . . ,
^ Ç dx Ç d.r T
fi » r <fo — <; r '^^ -^
Ces relations successives conduisent évidemment à exprimer
/dx [x a )"
/dr — > et d'une fonction rationnelle X' — à'
de a;; un calcul facile donne en effet pour résultat
en posant
El, si l'on veut le démontrer, on observera qu'en changeant n en n — i , il vient
.„, i.3...(a«-3)r r dx . . n
de sorte qu'en substituant dans la relation générale
, /' dx , . f dx X
''"" J [x^--a'r^'--^^"~'^J{x^=^--{x^7?y'' nous obtenons la condition
qui est satisfaite d'elle-même. La fonction /„(^) donne ainsi pour la partie rationnelle de l'intégrale proposée l'expression
rt'(x'«')"-3.. T
qui, d'après l'expression du coefficient A, coïncide bien avec
celle quia été obtenue précédemment sous la forme ^^ — - — y
et quant à la partie transceridante, l'identité
art
donne sur-le-champ
dx
I , X — a -- log
x' — a 2(7 X -i- a III. La détermination du polynôme ^{x), dans l'équation
dx
= A log +
l'REMiERS pnI^ClPES. 277
a été obtenue par celle remarque irès-simple qu'en récrivant ainsi :
le développement suivant les puissances descendantes de la
/dx ■ — ; ,"- est de la
au . ...
forme — h ■'-i -f- • • , sans contenir aucune partie entière en x. X x^
Or il résulte encore de cette remarque une conséquence importante que voici. Faisons, pour plus de simplicité, a = », et prenons les dérivées d'ordre n des deux membres dans la relation
A l'égard du produit (x' — i)''log"— — ? il faudra, en posant
U=:{X'-I)", V^lOg-— ,
appliquer la formule v-
rf'UV '^ y n d'-'Vi rTV n{n-i) r/"-''U d^W daf ~ dx^ i Ib^ Ihô'^ 1.2 dx''-' dx' "' '
^n yx^ — I )" X -^ \
dont le premier terme — -r—^^ log — - sera seul à dépendre du logarithme, les autres étant tous rationnels et même entiers. On a effectivement
d' log ^— -
et comme — ' ^^ contient en facteur {x"^ — i)", le produit est entier en x. Réunissant ces termes au polynôme
—7—;^—» en les faisant passer dans le premier membre, que je
désignerai alors par F„(.r), nous parviendrons à cette relation
H-I.2...7?l— iri -rr-, — ^,.., -f-
à laquelle je m'arrêterai un moment. Elle montre qu'en mul-
lipliant par le polynôme du n'''"' degré — —rr, — '^ série infinie
lOg - - = 2 - + —-;+-—+ .
le produit manque des puissances -5 ~i'~''"'~' et il en
resuite qu'en divisant F„(.r) par — -^~„ — -^ le quotient, ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la variable,
coïncide avec cette série, aux termes près de l'ordre - — •
Cet exemple de l'approximation d'une transcendante par une fonction rationnelle, qui est intéressant en lui-même, recevra plus tard une application importante. Il met en évidence une propriété entièrement caractéristique des expressions
j-;^ -auxquelles on donne le nom de polynômes de Le-
gendre, et qu'on désigne par X„ en posant
" i.^.<6. . .in dx"
Ces fonctions, introduites en Analyse par l'illustre géomètre à l'occasion de ses recherches sur l'attraction des sphéroïdes et la figure des planètes, sont d'une grande importance, et donnent lieu à plusieurs théorèmes remarquables, dont l'un nous servira de nouvelle application du procédé de l'intégration par parties, fondé sur la formule
OU
Soil, en effet, V = (^'— 1)"+', en supposant que U soit un polynôme arbitraire de degré n, l'intégrale du second membre disparaîtra, et nous obtiendrons d'abord
J'observe ensuite que, les dérivées successives de [x- — 1)"+' jusqu'à celle d'ordre n, contenant en facteur ^^ — i, 0 s'évanouit pour x = j et a; = — I , et il en résulte que l'intégrale définie
(ljf->
cIjc,
différence des valeurs de 0 pour a; = i et a; = — i est nulle. Le théorème exprimé par l'équation
UX r/x=o
appartient exclusivement aux polynômes de Legendre; car, en désignant un moment par F [x] une autre fonction entière de degré « + i, telle que l'on ait aussi
f \JF(x)flx = o,
on en conclurait, quelle que soit la constante k,
\JF{x)dx — A- UX„^,rfx=o
J^\[¥{x)-kX„,,]dx=^o.
OU bien
Or, en prenant /r, de manière que F(:r) — A-X„+, s'abaisse au n''"" degré, et posant alors
aSo CALCUL INTÉGRAL.
nous trouverons la condition suivante :
U' cLv ^ o.
Elle exige évidemment que U s'évanouisse identiquement; car, autrement, l'intégrale ne serait jamais nulle, tous les éléments étant positifs, et il en résulte
Des intégrales définies / ==7 / r.
c'x„ a: — a--b\/—i J -i i-2J:cosa + x^
Hx
kx' -r- I^X -t- C
