I. En employant précédemment, p. 287, l'égalité

dx

qui a été déduite de la définition même des logarithmes des quantités imaginaires, p. 36, à savoir

log(^ — a~~b\/—i) = -log[(.r — a)'-f b^'\

-\- (arctang — -r 1- imv:\\J —i,

nous avons introduit dans l'intégration des fonctions rationnelles une expression susceptible d'une infinité de déterminations distinctes, bien qu'ayant une seule et unique dérivée. Il en résulte qu'en passant des intégrales indéfinies aux intégrales définies, et écrivant

Jx.

dx

= log(x,— rt— b\^~i)— \o%[x^—a — b\/-i)

il reste encore à préciser celle des diverses valeurs du loga-

PREMIERS PRINCIPES. sSl

rilhme dont il faut faire usage dans le second membre. La même queslion s'offre encore dans d'autres circonslances; ainsi, en posant

i= arctanga:,

puis

C'x dx

/ -, = arc tangx, — arc tangr,,

il sera nécessaire, pour lever toute ambiguïté, de donner un seul et unique sens aux quantités arctang^, et arctangar,. Or on y parvient, dans ce cas, par cette remarque très-simple, mais importante, que l'intégrale I 55 prise à partir

de zéro, représente le plus petit arc, compris entre et

H — » parmi tous ceux en nombre infini qui ont x pour tangente. En effet, cet arc, d'après sa définition trigonométrique, croît d'une manière continue, de h -\ — > lorsque la tangente augmente de — oo à -h 00 . D'autre part, l'intégrale

X"^ dx V ^"^ '^'^" P^^^ différer que par une constante, est

aussi, par son origine géométrique, une fonction continue dans toute l'étendue des valeurs réelles de la variable (*); l'égalité annoncée résulte donc, quel que soit x, de ce qu'elle a lieu pour la valeur particulière :r = o. Convenant désormais de désigner exclusivement parla notation arctang^le plus petit arc dont la tangente est x, nous poserons ainsi

__ arctanga,-,